多元正态分布的共轭分布公式

多元正态分布的共轭分布是多元正态分布本身。具体地说，如果我们假设一个多元正态分布的先验分布是另一个多元正态分布，那么后验分布也将是一个多元正态分布。

假设我们有一个多元正态分布的先验分布，记作：

p(θ) = N(μ₀, Σ₀)

其中，θ是多元正态分布的参数，μ₀是均值向量，Σ₀是协方差矩阵。

现在，我们观测到一些数据，记作X。假设我们的似然函数为：

p(X|θ) = N(X|μ, Σ)

其中，μ是数据的均值向量，Σ是数据的协方差矩阵。

根据贝叶斯定理，我们可以计算后验分布：

p(θ|X) ∝ p(X|θ) * p(θ)

根据多元正态分布的性质，我们可以得到后验分布也是一个多元正态分布：

p(θ|X) = N(μ₁, Σ₁)

其中，μ₁和Σ₁可以通过计算得到。

需要注意的是，共轭先验仅在先验和似然函数具有相同的函数形式时才成立。对于多元正态分布来说，它的共轭先验也是多元正态分布。