(a) 证明随机变量 Y 的 PDF pY (y) 由 pY (y) = p(y)给出,即随机变量 Y 的 PDF 与概率密度相匹配。 即随机变量的 PDF 与概率密度函数 p() 一致。为了简化证明 为了简化证明,您可以假定 G(t) 在所有 t 2 [0; 1] 中都具有非零导数的可变性(尽管这个条件并不是必须的)。 条件不是必需的)。
时间: 2024-04-18 09:28:47 浏览: 6
在证明随机变量 Y 的概率密度函数 (PDF) pY(y) 由 p(y) 给出的问题中,我们可以使用变量变换的方法来简化证明。假设随机变量 Y 是通过随机变量 X 经过一个函数 G(X) 变换得到的,即 Y = G(X)。我们需要证明 pY(y) = p(y)。
首先,我们知道在连续型随机变量的情况下,概率密度函数 p(x) 定义为使得随机变量落在区间 (x, x + dx) 内的概率除以 dx,即 p(x) = P(X ∈ (x, x + dx)) / dx。
现在,我们考虑随机变量 Y 的概率密度函数 pY(y)。根据定义,我们有 pY(y) = P(Y ∈ (y, y + dy)) / dy。我们希望将这个概率转换为关于 X 的概率。为此,我们可以使用变量变换公式:
pX(x) = pY(G(x)) * |dG(x)/dx|
其中,pX(x) 是随机变量 X 的概率密度函数。
现在,我们将 pX(x) 替换为 p(x),并将 G(x) 替换为 y,得到:
p(x) = pY(y) * |dG(x)/dx|
注意到 dG(x)/dx 是 G(x) 的导数。根据问题的假设,我们可以假设函数 G(t) 在所有 t ∈ [0, 1] 上具有非零的导数。因此,|dG(x)/dx| 不为零。
现在,我们可以解上述方程,得到:
pY(y) = p(x) / |dG(x)/dx|
这就证明了随机变量 Y 的概率密度函数 pY(y) 由 p(y) 给出。
需要注意的是,这个证明是基于变量变换的方法,假设 G(t) 在所有 t ∈ [0, 1] 上具有非零导数的可变性。对于不同的变换函数 G(t),可能需要采用其他方法来证明随机变量 Y 的 PDF 由 p(y) 给出。