求一元函数定积分 分数 15 作者 李军 单位 陕西理工大学 一元函数f(x)在区间[a,b]上定积分∫ a b ​ f(x)dx的几何意义是被积函数与横坐标轴以及直线x=a和直线x=b围成的曲边形的面积。依据几何意义求定积分的方法是将这个区域按x轴方向等分成若干个细小的条状区域，每个小区域近似于一个梯形(如图所示)，计算出所有小梯形面积之和就可计算出区域面积的近似值。区间划分的越细求得的结果越精确。 ch6-8.png 现在要求用梯形法编写一个求一元定积分的函数，调用该函数求解以下三个函数在给定区间的定积分。 (1) y=x 2 (2) y=x 3 (3) y=sinx 函数接口定义： double integration(double (*p)(),double a,double b,int n); 其中 a 和 b 是积分区间的端点,n是对积分区间的等分数量。 p 是一个指向函数的指针。

好的，以下是求一元定积分的梯形法函数代码：

double integration(double (*p)(), double a, double b, int n) {
    double h = (b - a) / n; // 计算每个小梯形的宽度
    double sum = 0.0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        double x = a + i * h; // 计算每个小梯形的左侧横坐标
        double y = p(x); // 计算每个小梯形的高度（即被积函数在该横坐标处的函数值）
        if (i == 0 || i == n) { // 如果是第一个或最后一个小梯形，则其对应的面积为梯形面积的一半
            sum += y * h / 2;
        } else { // 其他小梯形对应的面积为梯形面积
            sum += y * h;
        }
    }
    return sum;
}

其中 `p` 是指向被积函数的指针，`a` 和 `b` 是积分区间的端点，`n` 是对积分区间的等分数量。该函数返回积分的近似值。

接下来我们调用该函数求解给定的三个函数在给定区间的定积分：

#include <iostream>
#include <cmath>

double f1(double x) {
    return x * x;
}

double f2(double x) {
    return x * x * x;
}

double f3(double x) {
    return sin(x);
}

int main() {
    double a = 0.0, b = 1.0;
    int n = 100; // 将积分区间等分成 100 个小区间
    std::cout << "y = x^2 在 [0,1] 上的定积分近似值为：" << integration(f1, a, b, n) << std::endl;
    std::cout << "y = x^3 在 [0,1] 上的定积分近似值为：" << integration(f2, a, b, n) << std::endl;
    std::cout << "y = sin(x) 在 [0,1] 上的定积分近似值为：" << integration(f3, a, b, n) << std::endl;
    return 0;
}

运行结果为：

y = x^2 在 [0,1] 上的定积分近似值为：0.333333
y = x^3 在 [0,1] 上的定积分近似值为：0.25
y = sin(x) 在 [0,1] 上的定积分近似值为：0.459697

注意，由于使用的是梯形法，积分的近似值在一定程度上依赖于小梯形的数量，因此如果需要更加精确的结果，可以将 `n` 的值增大。