用c++编写一套程序用进退法搜索任意一元四次函数的单谷区间，并用黄金分割法求取最小值

在C++中，我们可以编写一个程序来利用进退法（Bisection Method）搜索一元四次函数f(x)的单谷区间，并结合黄金分割法（Golden Section Search）来更精确地找到最小值。这里是一个基本的步骤概述：

1. **初始化**：
- 定义一元四次函数f(x)，比如`double f(double x)`，你需要提供这个函数的具体表达式。
- 设置初始区间的边界a和b，通常假设函数在某个连续区间内有唯一极小点。

2. **进退法搜索**：
- 进行基础的二分查找，每次将区间缩小一半。
- 计算新的中间点x_c = (a + b) / 2，如果f(x_a) * f(x_c) < 0，则说明极小点在(a, x_c)之间；否则，在(x_c, b)之间。
- 更新a和b的位置，继续迭代直到区间足够小或者找到满足精度要求的极小点。

3. **黄金分割法**：
- 当使用进退法接近极小点时，可以引入黄金分割率φ ≈ 1.61803398875（即(√5 - 1) / 2），替换二分法的平均位置计算，使得搜索过程更快收敛到最小值。
- 根据当前区间[a, b]，新分割点为x_g = a + φ * (b - a)。

4. **迭代更新**：
- 用新的分割点x_g替换原区间的一端，然后再次判断函数值的符号，直至满足停止条件，如达到预定的精度或者间隔小于某个阈值。

5. **返回结果**：
- 最终的极小点可能是x_g，也可能需要进一步微调，例如通过迭代逼近法。

以下是简化版的伪代码示例：

double golden_ratio = (std::sqrt(5) - 1) / 2;
double a, b, x;
double f_a, f_x;

// 初始化函数、区间等
while (true) {
    x = a + golden_ratio * (b - a);
    f_x = f(x);

    if (f_a * f_x <= 0) { // 使用黄金分割查找
        b = x;
    } else {
        a = x; // 否则，用进退法的下一个点
    }

    // 检查收敛条件，比如 |x_b - x_a| < epsilon 或者 |f(x_b)| < tolerance
    if (std::abs(x - a) < epsilon || std::abs(f_x) < tolerance) {
        break;
    }
}

return x; // 返回极小点估计