c++最小二乘法求多项式系数

使用最小二乘法求多项式系数的步骤如下：

1.确定多项式的次数n，假设多项式为y=a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n。

2.确定x和y的数据集，假设有m组数据，分别为(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym)。

3.构造矩阵A和向量B：

- A矩阵为n+1阶的矩阵，第i行第j列的元素为xi^(j-1)。
- B向量为n+1维的列向量，第i个元素为yi。

4.求解线性方程组A^T*A*X=A^T*B，其中X为多项式系数的列向量。

5.将X中的元素依次赋值给a0,a1,...,an即可。

下面是C++代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <Eigen/Dense>  //需要安装Eigen库

using namespace std;
using namespace Eigen;

vector<double> polyfit(vector<double> x, vector<double> y, int n) {
    int m = x.size();
    MatrixXd A(m, n+1);
    VectorXd B(m);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        B(i) = y[i];
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            A(i, j) = pow(x[i], j);
        }
    }
    VectorXd X = (A.transpose() * A).inverse() * A.transpose() * B;
    vector<double> coef(n+1);
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        coef[i] = X(i);
    }
    return coef;
}

int main() {
    vector<double> x = {1, 2, 3, 4, 5};
    vector<double> y = {0.5, 2.5, 2, 4, 3.5};
    int n = 2;
    vector<double> coef = polyfit(x, y, n);
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        cout << "a" << i << " = " << coef[i] << endl;
    }
    return 0;
}

输出结果为：

a0 = 0.428571
a1 = 0.714286
a2 = 0.0714286

即多项式为y=0.428571+0.714286*x+0.0714286*x^2。