设 A = {<a,b>| a,b ∈ N}，定义 A 上的一个二元关系 R = {<<a,b>,<c,d>> | ad = bc } 证明：R 是 A 上的等价关系，细致讲解一下这道题

要证明 R 是 A 上的等价关系，需要满足三个条件：自反性、对称性和传递性。

首先，证明自反性。对于任意的 <a,b> ∈ A，有 a,b ∈ N，因此 ad = ad，即 <a,b> R <a,b>，满足 R 的自反性。

其次，证明对称性。对于任意的 <a,b>, <c,d> ∈ A，若 <a,b> R <c,d>，即 ad = bc，则有 cb = da，即 <c,d> R <a,b>，满足 R 的对称性。

最后，证明传递性。对于任意的 <a,b>, <c,d>, <e,f> ∈ A，若 <a,b> R <c,d>，即 ad = bc，且 <c,d> R <e,f>，即 cf = de，则有 ae = bd = bf = cd×d/b = ce×d/f，即 <a,b> R <e,f>，满足 R 的传递性。

因此，R 是 A 上的等价关系。

相关问题

设Q为有理数集，笛卡尔集S=Q×Q，*是S上的二元运算，<a, b>,<x, y>∈S, <a, b>*<x, y>=<ax, y+b>, 则*运算的幺元是____

首先，我们需要知道幺元的定义：对于一个二元运算，在其中存在一个元素，使得这个元素和任何其他元素结合起来的结果都等于另一个元素本身。在本题中，我们需要寻找一个元素，使得对于任何一个有理数对<a, b>，都有<a, b>*幺元=<a, b>和幺元*<a, b>=<a, b>成立。

因此，我们可以设幺元为<e, f>，其中e和f为有理数。那么，对于任意一个有理数对<a, b>，有：

<a, b>*<e, f> = <ae, b+f> = <a, b>
<e, f>*<a, b> = <ea, f+b> = <a, b>

根据以上两个等式，我们可以得到以下两个方程：

ae = a
b + f = b

由第一个等式可以得到e = 1，代入第二个等式可以得到f = 0。因此，幺元为<1, 0>。

因此，*运算的幺元是<1, 0>。

设Q为有理数集，笛卡尔集S=Q×Q，*是S上的二元运算，<a, b>,<x, y>∈S, <a, b>*<x, y>=<ax, y+b>, <a, b>∈S, 若a≠0，则<a, b>的逆元是________________

逆元的定义是，对于一个元素a，存在一个元素b，使得a * b = b * a = 幺元。在本题中，我们需要寻找有理数对<a, b>的逆元，使得<a, b>*<a^(-1), -b/a> = <1, 0>。因此，我们可以解以下方程组：

aa^(-1) = 1
b(-b/a) = 0

第一个方程可以解得a^(-1) = 1/a（其中a≠0）。第二个方程可以得到b = 0或b = -a，因此有理数对<a, b>的逆元可以是<a^(-1), -b/a> = <1/a, 0>或<-1/a, 1>。

需要注意的是，只有当a≠0时，<a, b>才有逆元。当a=0时，<a, b>没有逆元。