\int_0^{\infty} e^{-st} e^{at}\mathrm{d}t

这是一个常见的 Laplace 变换问题。我们可以先将 $e^{-st}$ 和 $e^{at}$ 相乘，得到 $e^{(a-s)t}$，然后对 $t$ 进行积分，得到：

$$
\int_0^{\infty} e^{-st} e^{at}\mathrm{d}t = \left[\frac{e^{(a-s)t}}{a-s}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{s-a}
$$

所以，原式的值为 $\frac{1}{s-a}$。