simulink一阶倒立摆数学模型

### 关于Simulink中一阶倒立摆数学模型建模方法

#### 创建Simulink环境并加载模型
为了创建和仿真一阶倒立摆在Simulink中的行为，可以先通过命令行打开指定的Simulink文件：

mdl = 'mpc_pendcartNMPC';
open_system(mdl) [%1]

这会启动MATLAB自带的一个用于展示如何实现非线性MPC控制策略的例子。

#### 设置物理参数
对于具体的一阶倒立摆系统而言，其动力学特性由几个关键变量决定。这些参数包括但不限于质量、摩擦系数以及几何尺寸等，在此案例中有特定数值设定：

- 大车的质量 \( M \)= 0.5 kg；
- 小球的质量 \( m \)= 0.2 kg；
- 摩擦力常数 \( b \)= 0.1 Ns/m；
- 转动惯量 \( I \)= 0.006 kg·m²；
- 加速度重力加速度 \( g \)= 9.8 m/s²；
- 杆长度 \( l \)= 0.3 m；

上述参数的选择直接影响到系统的动态性能，并且应当依据实际应用场景调整优化[^2]。

#### 构建数学模型
构建一阶倒立摆的数学模型通常涉及牛顿第二定律的应用来描述物体受力情况下的位移变化规律。考虑到存在两个自由度——即手推车沿轨道移动的位置\( x(t)\)，还有杆相对于垂直方向的角度偏转θ(t)—因此需要建立一组微分方程组表示这两个状态随时间的变化关系。

假设忽略空气阻力和其他次要因素的影响，则可以根据经典力学原理得出如下简化形式的状态空间表达式:

\[
\begin{align*}
&\ddot{x}(t)+b/M*\dot{x}-g/l*m/(M+m)*sin(\theta)-l/(I+(M+m)*l^2)*(F+b*\dot{\theta})=0\\
&\ddot{\theta}+(-mg*l)/(I+(M+m)*l^2)*cos(\theta)+(u+F)/((I+(M+m)*l^2))=0
\end{align*}
\]

其中 F 表示作用在小车上水平方向上的外力 u 是施加给整个系统的控制输入信号。

#### 实现Simulink模型
基于以上理论分析结果，在Simulink环境中可以通过组合基本模块（如积分器、乘法器、增益块等等）搭建起相应的框图结构以直观呈现该非线性系统的内部运作机制。完成后的界面布局应能清晰反映出各个组成部分之间的相互联系及其逻辑顺序。

当一切准备就绪之后，即可执行仿真实验观察预期效果。记得事先确认已勾选“Simulation->Model Configuration Parameters”菜单里的相应选项以便实时查看动画演示过程。