一只小船渡过宽为 的河流，目标是起点 正对着的另一岸 点。已知河水流速 与船在静水中的速度 之比为 。 (1) 建立小船航线的方程，求其解析解。 (2) 设 用数值解法求渡河所需时间、任意时刻小船的位置及航行曲线，作图，并与解析解比较。用matlab解答并写出完整代码

(1) 小船的航行可以分为垂直于河岸的速度分量和沿河岸的速度分量。由于船相对地面的速度分为两部分，一部分是船相对于静水的速度 \( v_c \)，另一部分是水流的速度 \( v_s \)。垂直河岸的速度 \( v_{\text{hor}} = v_c \cdot \cos(\theta) \)，其中 \( \theta \) 是船头方向与河岸之间的夹角。

假设船头始终朝向正对点P，即 \( \theta = 0 \)，则 \( v_{\text{hor}} = v_c \)。而沿河岸的速度 \( v_{\text{ver}} = v_c \cdot \sin(\theta) + v_s \)，但在这种情况下 \( \sin(\theta) = 0 \)，所以 \( v_{\text{ver}} = v_s \)。

因为小船的目标是在最短的时间内到达对岸，所以它会保持最大的垂直速度 \( v_c \)，即船头始终垂直于河岸行驶。因此，航行的距离 \( d \) 只需要时间 \( t \) 来完成，满足 \( d = v_c \cdot t \)。

由于河宽为 \( w \)，渡河所需的最短时间 \( t \) 即为 \( t = \frac{w}{v_c} \)。

(2) 对于数值解法，我们可以使用Matlab中的ode45函数来模拟小船的运动。但是，由于题目没有给出具体的数值，这里将提供一个通用的示例代码框架：

% 定义常数和初始条件
v_c = 1; % 船在静水中的速度
v_s = 0.5 * v_c; % 水流速度
river_width = 10; % 河宽

% 函数定义，表示小船在x轴的运动方程
function dydt = boat_motion(t,y)
    x = y(1); % 当前位置x
    dxdt = v_c; % 垂直河岸的速度
    dydt = [dxdt; v_s]; % 全部速度向量
end

% 初始位置（船位于岸边）
initial_position = 0;

% 时间范围
tspan = [0 0.5 * river_width / v_c]; % 假定最短时间为河宽的一半除以船在静水中的速度

% 运行数值解
[t, y] = ode45(@boat_motion, tspan, initial_position);

% 提取时间和位置数据
time = t';
position = y';

% 绘制航迹
plot(time, position(:,1), 'LineWidth', 2);
hold on;
plot([0 river_width], [0 0], '--k'); % 河岸线
xlabel('时间(s)');
ylabel('距离(m)');
title('小船渡河路径');
legend('小船轨迹');

% 渡河所需时间
min_time = time(end);
fprintf('渡河所需时间约为 %.2f 秒\n', min_time);

请注意，这个代码是基于理想情况下的最短时间分析，实际应用中可能会考虑其他因素如风力等影响。在运行此代码之前，你需要替换具体的数值。