Hotelling变换的具体操作

Hotelling变换是一种线性变换，可以将多维数据转换为多元正态分布。它的具体操作步骤如下：

假设有 $n$ 个样本，每个样本有 $p$ 个变量，可以将数据表示为一个 $n \times p$ 的矩阵 $\boldsymbol{X}$。

1. 计算样本均值向量 $\boldsymbol{\overline{x}}$ 和样本协方差矩阵 $\boldsymbol{S}$。

$$\boldsymbol{\overline{x}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{x}_i$$

$$\boldsymbol{S} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{\overline{x}})(\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{\overline{x}})^T$$

其中 $\boldsymbol{x}_i$ 表示第 $i$ 个样本的 $p$ 个变量值，$\boldsymbol{\overline{x}}$ 表示所有样本的均值向量，$\boldsymbol{S}$ 表示所有样本的协方差矩阵。

2. 对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征向量矩阵 $\boldsymbol{V}$ 和特征值矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$。

$$\boldsymbol{S} = \boldsymbol{V} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{V}^T$$

其中 $\boldsymbol{V}$ 的每一列是一个特征向量，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是一个对角线矩阵，对角线上的元素是特征值。

3. 对数据进行线性变换，得到新的数据矩阵 $\boldsymbol{Y}$。

$$\boldsymbol{Y} = (\boldsymbol{X} - \boldsymbol{\overline{x}}) \boldsymbol{V}$$

其中，$\boldsymbol{X}$ 表示原始数据矩阵，$\boldsymbol{\overline{x}}$ 表示样本均值向量，$\boldsymbol{V}$ 表示特征向量矩阵。

4. 对新的数据矩阵 $\boldsymbol{Y}$ 进行标准化处理，使其每个变量的均值为0，方差为1。

$$\boldsymbol{Y}_{ij} = \frac{\boldsymbol{Y}_{ij} - \overline{\boldsymbol{Y}}_j}{\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (\boldsymbol{Y}_{ij} - \overline{\boldsymbol{Y}}_j)^2}}$$

其中，$\boldsymbol{Y}_{ij}$ 表示第 $i$ 个样本在第 $j$ 个新变量上的取值，$\overline{\boldsymbol{Y}}_j$ 表示第 $j$ 个新变量的均值。

最终得到的新的数据矩阵 $\boldsymbol{Y}$ 是多元正态分布的，可以用于后续的统计分析和建模。