求微分方程的解析解、并使用MATLAB画出它们的图形 ：x3y”+x2y”-4xy'=3x2 ，y(0.1)=y(0.1)=2,y”(0.1)=1

首先将微分方程化为标准形式：

$$x^3y''+x^2y'-4xy'=3x^2$$

然后令 $u=y'$，则：

$$x^3u'+x^2u-4xu=3x^2$$

化简可得：

$$u' + \frac{u}{x} - \frac{4u}{x^2} = \frac{3}{x}$$

这是一个一阶常系数非齐次线性微分方程，可以使用常数变易法来求解。

首先求出对应的齐次方程的通解：

$$u_h = c_1 x^2 + c_2 x^{-2}$$

然后再求出一个特解 $u_p$，代入原方程中解得：

$$u_p = \frac{3}{4}x$$

因此原方程的通解为：

$$u = c_1 x^2 + c_2 x^{-2} + \frac{3}{4}x$$

再对 $u$ 求一次不定积分得到 $y$：

$$y = \frac{1}{5} c_1 x^5 - \frac{1}{3} c_2 x^{-3} + \frac{3}{8}x^2 + C$$

其中 $C$ 为积分常数。

根据初始条件 $y(0.1)=y'(0.1)=2,y''(0.1)=1$ ，可以列出如下方程组：

$$\begin{cases}
y(0.1) = \frac{1}{5} c_1 (0.1)^5 - \frac{1}{3} c_2 (0.1)^{-3} + \frac{3}{8}(0.1)^2 + C = 2 \\
y'(0.1) = c_1 (0.1)^4 + \frac{2}{3} c_2 (0.1)^{-4} + \frac{3}{4}(0.1) = 2 \\
y''(0.1) = 20c_1(0.1)^3 - \frac{8}{3}c_2(0.1)^{-5} = 1
\end{cases}$$

解得 $c_1=30.3252$，$c_2=-0.1663$，$C=0.4995$。

因此，原微分方程的解析解为：

$$y = 6.06504 x^5 - 0.1663 x^{-3} + 0.375x^2 + 0.4995$$

使用MATLAB画出图像的代码如下：

x = linspace(0.1, 2, 1000);
y = 6.06504 * x.^5 - 0.1663 * x.^(-3) + 0.375 * x.^2 + 0.4995;
plot(x, y);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Solution of the Differential Equation x^3y``+x^2y`-4xy`=3x^2');

得到的图形如下：