使用c++设计：有一个数组a有n个元素，把数组中的0等概率替换成1~m的某个数，然后对数组排序，计算第k个位置的数，就是ak,计算ak的期望(不能使用rand（）函数，确切的计算出来)，并对结果mod998244353，输入是n,m,k,以及数组的n个值,使用O(n^2logn)以内的算法设计

思路：

首先需要计算出一个数被选中替换为另一个数的概率。假设数组a中0的个数为x，则选中一个0替换成另一个数的概率为1/x。每个非0元素被选中替换成另一个数的概率为0。所以，对于一个非0元素ai，它最终不变留在原位的概率为(1-1/x)^x，被替换到其他位置的概率为1-(1-1/x)^x。

接着，需要计算出ai最终留在原位的期望值E(ai)和ai被替换到其他位置的期望值E(ai')。E(ai)可以通过二项式定理展开后取极限得到，结果为1/(1-1/x)。E(ai')可以直接计算，结果为(ai + 1 + ... + m) / x。所以，ai最终替换成什么数对期望的贡献为(ai + 1 + ... + m) / (x * (1-1/x))。

最后，对于排序后的数组a，第k个位置的数ak就是a[k-1]。ak的期望值E(ak)可以通过对每个元素的期望贡献进行求和得到。所以，E(ak) = (a[0] + 1 + ... + m) / (n * (1-1/x)) + ... + (a[n-1] + 1 + ... + m) / (n * (1-1/x))。将结果对998244353取模即可。

算法具体实现：

首先统计数组a中0的个数x，并对其进行计数排序，得到有序数组b。然后依次遍历b中的每个元素，计算出每个元素在原数组a中的出现次数cnt[i]以及该元素最终替换成另一个数对期望的贡献con[i]。最后，对每个位置i，计算期望贡献的总和即可得到E(ak)。

代码实现如下：

相关问题

使用c++设计：有一个数组a有n个元素，把数组中的0等概率替换成1~m的某个数，计算第k个位置的数，就是ak,计算ak的期望(不能使用rand（）函数，确切的计算出来)，并对结果mod998244353，输入是n,m,k,以及数组的n个值

解题思路：

- 首先，我们知道数组中 0 的数量，假设为 cnt_0。
- 根据题意，把数组中的 0 替换成 1~m 的某个数，则每个 0 被替换成某个数的概率均为 $\dfrac{1}{m}$。
- 因此，第 k 位上的数出现的概率就是它本来就在该位置的概率或者它出现在该位置的概率，即为 $\dfrac{1}{m}$。
- 如果第 k 位上本来就是一个数 $x$，那么第 k 位替换成 1~m 中另一个数的概率为 $\dfrac{1}{m-1}$，因为数组中的数字互不相同。
- 则第 k 位替换成某个数的期望值就是 $\dfrac{1}{m-1}\sum\limits_{i=1}^{m}i$（去掉了 $x$，因为 $x$ 已经存在于第 k 个位置上）。
- 最后，我们就可以根据数组的元素和及计算出来的期望值，计算出第 k 个位置上的数的期望，并对结果进行取模即可。

注意：在计算的过程中需要将所有数都 mod 998244353，否则会爆 int。

算法实现：

以下为本题的 C 代码实现。

用c++设计程序，把一个数组的0等概率换成1~m,排序后计算ak的数的期望

要实现这个程序，我们需要使用以下步骤：

1. 读取数组元素个数n和0被替换成的最大值m。

2. 声明一个长度为n的整型数组，并用随机数生成器将其填充为0或1。

3. 遍历该数组，将每个0替换为1-M之间的任意一个整数。

4. 对原始数组和修改后的数组进行快速排序。

5. 遍历排序后的数组，统计出现次数最多的元素ak。

6. 计算ak出现的次数除以n，得到ak的期望值。

下面是使用C语言实现此程序的示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

#define MAX_M 100

// 生成1到m之间的随机整数
int random_int(int m) {
    return rand() % m + 1;
}

// 交换数组中两个元素的值
void swap(int *a, int *b) {
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

// 快速排序
void quick_sort(int *arr, int left, int right) {
    if (left >= right) return;
    int i = left, j = right, pivot = arr[left];
    while (i < j) {
        while (i < j && arr[j] >= pivot) j--;
        if (i < j) arr[i++] = arr[j];
        while (i < j && arr[i] < pivot) i++;
        if (i < j) arr[j--] = arr[i];
    }
    arr[i] = pivot;
    quick_sort(arr, left, i - 1);
    quick_sort(arr, i + 1, right);
}

// 计算ak的期望值
double calc_expectation(int *arr, int n, int ak) {
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (arr[i] == ak) count++;
    }
    return (double)count / n;
}

int main() {
    int n, m, arr[MAX_M], modified[MAX_M];
    double sum = 0.0;

    // 读取数组大小和0被替换成的最大值
    printf("Enter array size and maximum value of modified 0s: ");
    scanf("%d%d", &n, &m);

    // 初始化随机数生成器
    srand(time(NULL));

    // 填充原始数组并进行修改
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        arr[i] = rand() % 2;
        if (arr[i] == 0) arr[i] = random_int(m);
    }

    // 复制数组并排序
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        modified[i] = arr[i];
    }
    quick_sort(arr, 0, n - 1);
    quick_sort(modified, 0, n - 1);

    // 找到出现次数最多的元素ak
    int ak = modified[n-1], count = 1, max_count = 1;
    for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
        if (modified[i] == ak) {
            count++;
        } else {
            if (count > max_count) {
                max_count = count;
                ak = modified[i+1];
            }
            count = 1;
        }
    }
    if (count > max_count) {
        max_count = count;
        ak = modified[0];
    }

    // 计算ak出现的期望值
    sum = calc_expectation(arr, n, ak);

    // 输出结果
    printf("The original array is:\n");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");

    printf("The modified array is:\n");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", modified[i]);
    }
    printf("\n");

    printf("The number with highest frequency is %d\n", ak);
    printf("The expectation of this number's occurrence is %f\n", sum);

    return 0;
}