电偶极子在半空间产生的电场纵向分量

电偶极子在半空间产生的电场纵向分量可以通过求解半空间中的静电势得到。假设电偶极子沿着 $z$ 轴放置，其电偶矩为 $\vec{p} = p\hat{z}$。则在 $z>0$ 的区域内，静电势可以表示为：

$$
V(z) = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{z}
$$

其中 $\epsilon_0$ 为真空介电常数。通过电场的定义 $E = -\nabla V$，可以得到 $z$ 方向上的电场分量为：

$$
E_z(z) = -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}z} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{z^2}
$$

因此，电偶极子在半空间产生的电场纵向分量与 $z$ 的平方成反比。

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频率域电偶极子在半空间产生的电场纵向分量

频率域下，电偶极子在半空间产生的电场纵向分量可以通过求解半空间中的静电势的傅里叶变换得到。假设电偶极子沿着 $z$ 轴放置，其电偶矩为 $\vec{p} = p\hat{z}$。则在 $z>0$ 的区域内，静电势可以表示为：

$$
V(z) = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{z}
$$

将静电势做傅里叶变换，得到频率域下的电势：

$$
V(\omega,z) = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z}e^{-i\omega t}\mathrm{d}t = \frac{p}{4\pi\epsilon_0z}2\pi\delta(\omega)
$$

其中 $\delta(\omega)$ 为狄拉克 $\delta$ 函数。通过电场的定义 $E = -\nabla V$，可以得到频率域下 $z$ 方向上的电场分量为：

$$
E_z(\omega,z) = -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}z} = -\frac{p}{4\pi\epsilon_0z^2}2\pi\delta(\omega)
$$

因此，频率域下电偶极子在半空间产生的电场纵向分量与 $z$ 的平方成反比，且有一个 $\delta$ 函数在 $\omega=0$ 处。

matlab画出电偶极子x分量电场

要画出电偶极子x分量电场，可以按照以下步骤进行：

1. 定义点阵：首先需要确定电偶极子的位置和大小，将其转换为一个点阵，可以使用`meshgrid`函数创建一个二维网格。

2. 计算电场：对于每个点，计算其在电偶极子产生的电场下的电势值，然后求梯度即可得到电场。

3. 绘制图形：使用`quiver`函数绘制矢量图，以表示电场的方向和大小。

下面是一段示例代码，可以参考：

% 定义电偶极子位置和大小
x = -1:0.2:1;
y = -1:0.2:1;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
Z = zeros(size(X));
Z(abs(X)<=0.1 & abs(Y)<=0.1) = 1;

% 计算电场
[Ex,Ey] = gradient(-Z);
Ez = zeros(size(Ex));

% 绘制图形
quiver(X,Y,Ex,Ey);