余弦函数的平方的定积分等于啥?
时间: 2023-03-22 20:01:35 浏览: 303
余弦函数的平方在 $[0, \pi]$ 上的定积分为:
$$
\int_0^\pi \cos^2 x\, dx = \frac{\pi}{2}
$$
要证明这个结果,我们可以使用三角恒等式将 $\cos^2 x$ 表示为 $\frac{1}{2}(1 + \cos 2x)$,然后进行积分:
$$
\begin{aligned}
\int_0^\pi \cos^2 x\, dx &= \int_0^\pi \frac{1}{2}(1 + \cos 2x)\, dx \\
&= \left[\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x\right]_0^\pi \\
&= \left(\frac{1}{2}\pi - 0\right) + \left(0 - \frac{1}{4}(0)\right) \\
&= \frac{\pi}{2}
\end{aligned}
$$
因此,余弦函数的平方在 $[0, \pi]$ 上的定积分为 $\frac{\pi}{2}$。
相关问题
上限和下限一样的定积分不是0 ??
不一定。一个函数在区间 $[a,b]$ 上的定积分等于该函数下方积分区间上方的面积减去上方积分区间下方的面积,因此其值可能是正数、负数或零。如果函数在 $[a,b]$ 上是偶函数且非负,那么其定积分在 $[a,b]$ 上的值为 $2$ 倍在 $[0,b]$ 上的定积分,因此如果 $f(x) \geq 0$ 且 $f(x)$ 是偶函数,则 $\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$,如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是奇函数,则 $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$。但是,如果 $f(x)$ 不是偶函数或奇函数,那么 $\int_{-a}^a f(x) dx$ 的值不一定为 $0$。
对常数的二重积分等于0?
如果你是在问下面这个式子的积分:
∬ D C dxdy
其中,D是一个区域,C是一个常数。那么这个积分的结果是0,因为常数C可以提到积分符号外面,然后对于D区域内的任意小面积dxdy,C都是一个常数,所以C乘上dxdy再积分,等于积分C再乘上dxdy,即
C ∬ D dxdy = C×面积 = C×0 = 0
所以,对于这种形式的积分,其结果是0。