余弦函数的平方的定积分等于啥？

余弦函数的平方在 $[0, \pi]$ 上的定积分为：

$$
\int_0^\pi \cos^2 x\, dx = \frac{\pi}{2}
$$

要证明这个结果，我们可以使用三角恒等式将 $\cos^2 x$ 表示为 $\frac{1}{2}(1 + \cos 2x)$，然后进行积分：

$$
\begin{aligned}
\int_0^\pi \cos^2 x\, dx &= \int_0^\pi \frac{1}{2}(1 + \cos 2x)\, dx \\
&= \left[\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x\right]_0^\pi \\
&= \left(\frac{1}{2}\pi - 0\right) + \left(0 - \frac{1}{4}(0)\right) \\
&= \frac{\pi}{2}
\end{aligned}
$$

因此，余弦函数的平方在 $[0, \pi]$ 上的定积分为 $\frac{\pi}{2}$。