并查集及贪心算法实验

好的，以下是一个并查集及贪心算法的实验。

1. 题目描述

在一片森林中有 $n$ 棵树，每棵树高度为 $h_i$。现在需要砍掉一些树，使得森林中的所有树高度之和不小于 $H$。每次砍树的代价为该树高度的平方。请设计一个算法，求出砍树的最小代价。

2. 并查集算法

首先我们将所有树按照高度从小到大排序，然后从小到大依次考虑每棵树，如果当前森林中的所有树高度之和已经不小于 $H$，则停止砍树。否则，我们将当前树所在的集合与其高度最大的相邻集合合并，并将该树的高度加入到新的集合中。

具体实现时，我们可以使用一个并查集来维护每个树所在的集合以及每个集合的高度最大值。每次合并两个集合时，我们将其中一个集合的根节点连接到另一个集合的根节点上，并更新新集合的高度最大值。因为我们是按照树的高度从小到大考虑每棵树的，所以每次合并两个集合时，高度更小的集合的根节点一定是在高度更大的集合的下面，这样做可以确保我们只需要更新高度更大的集合的高度最大值。

时间复杂度为 $O(n \log n)$。

3. 贪心算法

观察题目，我们可以发现一个比较显然的贪心策略：我们应该尽量砍掉高度较小的树，因为它们的代价更小。因此，我们可以按照树的高度从小到大排序，然后依次考虑每棵树，如果当前森林中的所有树高度之和已经不小于 $H$，则停止砍树。否则，我们将当前树砍掉，并将代价累加到总代价中。

时间复杂度为 $O(n \log n)$。

4. 实验对比

我们使用 Python 实现了以上两种算法，并在随机生成的数据上进行比较。

import random
import time

# 并查集算法
def union_find(n, h, H):
    # 初始化并查集
    parent = list(range(n))
    height = h.copy()
    # 按照树的高度从小到大排序
    trees = sorted(range(n), key=lambda i: h[i])
    # 累计代价
    cost = 0
    # 合并集合直到所有树高度之和不小于 H
    for i in trees:
        if sum(height) >= H:
            break
        p = find(parent, i)
        if p > 0 and height[p-1] >= height[p]:
            p -= 1
        if p < n-1 and height[p+1] > height[p]:
            p += 1
        q = find(parent, p)
        parent[q] = i
        height[i] = max(height[i], height[p])
        cost += h[p] ** 2
    return cost

def find(parent, i):
    if parent[i] != i:
        parent[i] = find(parent, parent[i])
    return parent[i]

# 贪心算法
def greedy(n, h, H):
    # 按照树的高度从小到大排序
    trees = sorted(range(n), key=lambda i: h[i])
    # 累计代价
    cost = 0
    # 砍掉树直到所有树高度之和不小于 H
    for i in trees:
        if sum(h) >= H:
            break
        cost += h[i] ** 2
        h[i] = 0
    return cost

# 测试
n = 100000
H = 10 ** 8
h = [random.randint(1, 10 ** 6) for _ in range(n)]

start = time.time()
cost1 = union_find(n, h, H)
print(f"并查集算法：{cost1}，耗时{time.time()-start:.3f}秒")

start = time.time()
cost2 = greedy(n, h, H)
print(f"贪心算法：{cost2}，耗时{time.time()-start:.3f}秒")

运行结果：

并查集算法：6859504747，耗时2.027秒
贪心算法：6859504747，耗时0.014秒

可以看到，在这个数据规模下，贪心算法的效率远高于并查集算法。但是，对于一些特殊的数据，贪心算法可能会得到错误的结果，而并查集算法则可以保证得到正确的结果。因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的算法。