给定环U=<R,+,·>,其中R=5Z,+和 ·是通常数的加法和乘法。试判定<R,+,·>是否为整环?
时间: 2024-05-02 09:17:08 浏览: 7
为了判定<R,+,·>是否为整环,我们需要验证以下四个条件:
1. R对于加法和乘法封闭。即,对于任意的a,b∈R,有a+b∈R,a·b∈R。
2. 加法满足交换律。即,对于任意的a,b∈R,有a+b=b+a。
3. 加法满足结合律。即,对于任意的a,b,c∈R,有(a+b)+c=a+(b+c)。
4. 加法有单位元素0。即,存在0∈R,使得对于任意的a∈R,有a+0=a。
对于这个环U,我们可以依次验证这四个条件:
1. 首先,R=5Z,因此a+b和a·b一定都是5的倍数,即都属于R。因此,条件1成立。
2. 加法是通常的数的加法,显然满足交换律。因此,条件2成立。
3. 加法是通常的数的加法,显然满足结合律。因此,条件3成立。
4. 0是整数中的单位元素,因此0∈R。对于任意的a∈R,有a+0=a。因此,条件4成立。
因此,根据以上四个条件,我们可以得出结论:<R,+,·>是一个整环。