对任意随机变量Xi及常数ki , ci(i = 1, 2, · · · , n),有E( P n i=1 (kiXi + ci)) = P n i=1 (kiE(Xi) + ci)
时间: 2023-09-24 12:11:48 浏览: 63
这是正确的。可以使用数学归纳法证明。
当 n = 1 时,有:
E(k1 X1 + c1) = k1 E(X1) + c1
这是期望的线性性质,是成立的。
假设当 n = m 时,命题成立,即:
E(Pn_{i=1}^{m}(k_i X_i + c_i)) = Pn_{i=1}^{m}(k_i E(X_i) + c_i)
考虑 n = m + 1 时,有:
E(Pn_{i=1}^{m+1}(k_i X_i + c_i)) = E((Pn_{i=1}^{m}(k_i X_i + c_i)) × (k_{m+1} X_{m+1} + c_{m+1}))
由于期望的线性性质,可以将其展开:
=E(Pn_{i=1}^{m}(k_i X_i + c_i)) × E(k_{m+1} X_{m+1} + c_{m+1})
=Pn_{i=1}^{m}(k_i E(X_i) + c_i) × (k_{m+1} E(X_{m+1}) + c_{m+1})
=Pn_{i=1}^{m+1}(k_i E(X_i) + c_i)
所以当 n = m + 1 时,命题也成立。因此,由数学归纳法可知,对任意随机变量Xi及常数ki, ci(i = 1, 2, · · · , n),都有:
E(Pn_{i=1}^{m}(k_i X_i + c_i)) = Pn_{i=1}^{m}(k_i E(X_i) + c_i)