对均匀分布（a,a+1），提出假设H0：a=0 H1: a=1/2 ，求显著性水平为0.05的最大功效检验

假设H0和H1的概率密度函数分别为f0(x)和f1(x)，则：

f0(x) = 1，a <= x <= a+1
f1(x) = 1，a+1/2 <= x <= a+3/2

在H0假设下，a=0，所以：

f0(x) = 1，0 <= x <= 1
f1(x) = 1，1/2 <= x <= 3/2

在H1假设下，a=1/2，所以：

f0(x) = 1，1/2 <= x <= 3/2
f1(x) = 1，1 <= x <= 2

根据最大功效准则，我们要找到一个检验，使得在H1假设下，拒绝H0假设的概率最大。因为H0和H1都是简单假设，所以我们可以使用Neyman-Pearson引理来得到最大功效检验。

首先，我们需要确定一个拒绝域R，它是一个区间，如果样本均值落在该区间内，则拒绝H0假设，否则接受H0假设。由于我们要求显著性水平为0.05的最大功效检验，所以我们需要满足以下两个条件：

1. 确定拒绝域R的概率为0.05，即P(a<=x_bar<=a+1|R) = 0.05
2. 在H1假设下，拒绝域R的概率最大

根据Neyman-Pearson引理，我们可以得到：

P(a<=x_bar<=a+1|R) / P(a<=x_bar<=a+1|H0) = L(R) / k

其中，L(R)是似然比函数，k是一个常数。因为H0和H1的概率密度函数都是均匀分布，所以似然比函数为：

L(R) = f1(x1)f1(x2)...f1(xn) / f0(x1)f0(x2)...f0(xn)

其中，x1, x2, ..., xn是n个独立的样本。

将H0和H1的概率密度函数带入似然比函数，可以得到：

L(R) = (a+1/2)^(n*I(R>=1/2)) * (a+3/2)^(n*I(R<1/2)) / a^n

其中，I(R>=1/2)是指示函数，当R>=1/2时为1，否则为0。I(R<1/2)是指示函数，当R<1/2时为1，否则为0。

我们可以将L(R)写成以下形式：

L(R) = (a+1/2)^(n*x) * (a+3/2)^(n*(1-x)) / a^n

其中，x是一个介于0和1之间的数，表示拒绝域R在区间[1/2, 3/2]中的长度占总长度的比例。

要使得在H1假设下，拒绝域R的概率最大，我们需要最大化似然比函数L(R)。因此，我们可以对L(R)求导，得到：

dL(R)/dx = n*(a+1/2)^(n*x)*(a+3/2)^(n*(1-x))*[ln(a+1/2)-ln(a+3/2)] / a^n * [ln(a+3/2)-ln(a+1/2)] = 0

化简得到：

x = ln(2a+3) / [n*(ln(2a+3)-ln(2a+1))]

将a=0和a=1/2带入上式，可以得到：

当a=0时，x=1/2
当a=1/2时，x=1

因此，当a=0时，拒绝域R为[1/2, 3/2]，当a=1/2时，拒绝域R为[0, 1/2]和[3/2, 2]。

我们可以计算拒绝H0假设的概率：

在H0假设下，a=0，拒绝域R为[1/2, 3/2]，所以：

P(R|H0) = P(1/2<=x_bar<=3/2|a=0) = 0.5

在H1假设下，a=1/2，拒绝域R为[0, 1/2]和[3/2, 2]，所以：

P(R|H1) = P(0<=x_bar<=1/2|a=1/2) + P(3/2<=x_bar<=2|a=1/2) = 0.375

因此，功效为：

power = P(R|H1) = 0.375

综上所述，显著性水平为0.05的最大功效检验是：

当样本均值落在区间[1/2, 3/2]时，拒绝H0假设，否则接受H0假设。在这种情况下，检验的功效为0.375。