GNN对于输入输出的公式

GNN（图神经网络）的输入和输出通常与传统神经网络有所不同，因为它们是用于处理图数据的。以下是常见的输入输出公式：

输入：
- 节点特征矩阵 X （N x F），其中 N 是节点数，F 是每个节点的特征维度。
- 边的邻接矩阵 A （N x N），其中 A_ij 表示节点 i 和 j 是否相连。

输出：
- 节点表示矩阵 Z （N x D），其中 D 是节点的嵌入维度。

GNN 的计算通常是基于节点的邻居关系进行的，可以使用以下公式：

$$
h_{i}^{(l)} = \sigma\left(\sum_{j \in N_i} \frac{1}{c_{i,j}}W^{(l)}h_j^{(l-1)}\right)
$$

其中 $h_i^{(l)}$ 表示第 $l$ 层中节点 $i$ 的表征，$N_i$ 表示节点 $i$ 的邻居节点集合，$W^{(l)}$ 是第 $l$ 层的权重矩阵，$\sigma$ 是激活函数，$c_{i,j}$ 是归一化常数，可以使用度数或其他方法计算。在最终一层，$h_i^{(L)}$ 通常被作为节点表示 $z_i$。

相关问题

Transformer与GNN融合模型构建

### 构建Transformer与GNN融合的模型

为了应对交通流量预测中的复杂时空特征，结合Transformer和图神经网络（GNN）的混合模型能够充分利用两者的优势。具体来说，这种组合可以在处理非欧几里得结构的数据时提供更有效的解决方案。

#### 数据预处理
在构建此类模型之前，需要准备合适的输入数据集。对于交通流量预测而言，通常会涉及到节点级别的流量信息以及边上的连接关系。这些数据会被转换成适合GNN操作的形式——即邻接矩阵表示法来描述各个站点之间的连通情况；同时也会有每条边上附加的时间戳属性用来反映不同时间段内的交互强度变化趋势[^4]。

#### 图卷积层的设计
考虑到地铁网络具有明显的非欧式几何特性，传统CNN难以充分表达其内部复杂的拓扑关联模式。因此采用Graph Convolutional Networks (GCNs)，通过聚合邻居节点的信息来进行消息传递更新节点表征向量。这一过程可以通过如下公式体现：

\[ h_v^{(l+1)}=\sigma\left(\sum_{u \in N(v)+v} W^{(l)} h_u^{(l)}\right) \]

这里\(h_v\)代表第\(v\)个顶点在其所在层次下的隐藏状态，\(W\)则是待训练参数权重矩阵。\(\sigma()\)是非线性激活函数如ReLU等[\(^3]\).

#### Transformer编码器模块集成
为了让模型具备更强的时间维度感知力并克服RNN固有的梯度消失等问题，在经过多轮次迭代后的最终隐含态基础上接入完整的Transformers架构作为后续处理单元。它由多个堆叠起来的标准Encoder Layers构成，每个Layer内部分别执行Multi-head Self Attention Mechanism 和 Feed Forward Neural Network两大部分运算逻辑:

- **Self-Attention**: 计算Query, Key, Value三者间的相似程度得分，并据此加权求和得到新的Context Vector；

- **FeedForward NNs**: 对上述结果实施进一步变换映射至目标输出空间尺寸大小一致的新特征表述形式。

整个流程可概括为下述伪代码所示：

class GNN_Transformer(nn.Module):
    def __init__(self, input_dim, hidden_dim, num_heads=8, dropout_rate=0.1):
        super().__init__()
        
        self.gnn_layers = nn.ModuleList([GCNConv(input_dim,hidden_dim)])
        self.transformer_encoder_layer = nn.TransformerEncoderLayer(d_model=hidden_dim,nhead=num_heads,dim_feedforward=2*hidden_dim,batch_first=True)
    
    def forward(self,x,adj_matrix):
        # Apply Graph Convolutions
        for gcn in self.gnn_layers:
            x = F.relu(gcn(x=x,edge_index=adj_matrix))
            
        batch_size,num_nodes,_ = x.shape
        
        # Reshape to fit into transformer expected shape [batch_size * nodes , seq_len=1 , features]
        trans_input = x.view(batch_size*num_nodes,-1).unsqueeze(dim=-2)

        out = self.transformer_encoder_layer(src=trans_input)[...,0,:].view_as(x)
        
        return out

此段Python代码实现了基本版本的GNN-Transformer混合框架，其中包含了必要的组件初始化(`__init__()`)及前馈传播路径定义(`forward()`), 并且利用PyTorch Geometric库中现成可用的`GCNConv`类简化了实际编程工作量[^1].

使用pytorch实现一个GNN模型

好的，下面我将为你介绍如何使用 PyTorch 实现一个 GNN 模型。

首先，我们需要导入 PyTorch 和其他必要的库：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F

接下来，我们定义一个 GNN 模型的类。在这里，我们使用 GCN（Graph Convolutional Network）模型作为例子。GCN 模型的公式如下：

$$
H^{(l+1)} = \sigma(\tilde{D}^{-\frac{1}{2}}\tilde{A}\tilde{D}^{-\frac{1}{2}}H^{(l)}W^{(l)})
$$

其中，$H^{(l)}$ 表示第 $l$ 层的节点表示，$\tilde{A}=A+I$ 表示邻接矩阵加上单位矩阵，$\tilde{D}$ 表示对角矩阵，$W^{(l)}$ 表示第 $l$ 层的权重矩阵，$\sigma(\cdot)$ 表示激活函数。

我们在类中定义了三个函数：`__init__`、`forward` 和 `normalize`. `__init__` 函数用于定义模型的结构，`forward` 函数用于前向传播计算节点表示，`normalize` 函数用于对邻接矩阵进行归一化处理。

class GCN(nn.Module):
    def __init__(self, in_features, out_features):
        super(GCN, self).__init__()
        self.in_features = in_features
        self.out_features = out_features
        self.weight = nn.Parameter(torch.FloatTensor(in_features, out_features))
        self.bias = nn.Parameter(torch.FloatTensor(out_features))
        self.reset_parameters()

    def reset_parameters(self):
        nn.init.xavier_uniform_(self.weight)
        nn.init.zeros_(self.bias)

    def forward(self, x, adj):
        adj = self.normalize(adj)
        x = torch.matmul(adj, x)
        x = torch.matmul(x, self.weight)
        x = x + self.bias
        x = F.relu(x)
        return x

    def normalize(self, adj):
        degree = torch.sum(adj, dim=1)
        D = torch.diag(torch.pow(degree, -0.5))
        adj = torch.matmul(torch.matmul(D, adj), D)
        return adj

在 `__init__` 函数中，我们定义了模型的输入特征维度 `in_features` 和输出特征维度 `out_features`，以及模型的权重矩阵 `weight` 和偏置项 `bias`。在 `reset_parameters` 函数中，我们使用 Xavier 初始化方法初始化权重矩阵和偏置项。

在 `forward` 函数中，我们首先对邻接矩阵进行归一化处理，然后计算节点表示 $H^{(l+1)}$。在计算节点表示时，我们首先计算 $\tilde{D}^{-\frac{1}{2}}\tilde{A}\tilde{D}^{-\frac{1}{2}}H^{(l)}$，然后与权重矩阵 $W^{(l)}$ 相乘，加上偏置项，最后再使用 ReLU 激活函数。

在 `normalize` 函数中，我们对邻接矩阵进行归一化处理，计算公式为 $\tilde{D}^{-\frac{1}{2}}\tilde{A}\tilde{D}^{-\frac{1}{2}}$。

接下来，我们可以使用该模型进行节点分类、图分类等任务。