KPCA的算法流程和公式
时间: 2023-11-25 12:35:58 浏览: 25
KPCA(Kernel Principal Component Analysis)是一种基于核方法的主成分分析算法,其主要思想是将原始数据映射到高维特征空间中,然后在该空间中进行主成分分析。
算法流程如下:
1. 计算核函数:选择合适的核函数(如高斯核函数),计算核矩阵K。
2. 居中化:对核矩阵K进行中心化处理,即将每一行和每一列的平均值都减去全局平均值,得到矩阵K'。
3. 计算特征值和特征向量:对中心化后的核矩阵K'进行特征值分解,得到特征值λ和对应的特征向量v。
4. 选择主成分:根据特征值大小,选择前k个主成分对应的特征向量作为新的特征空间。
5. 投影:将原始数据点x通过核函数映射到高维空间中,然后在新的特征空间中进行降维,即将每个数据点通过新的特征向量进行投影,得到降维后的数据点。
公式如下:
1. 核函数的计算公式:
K(x, y) = exp(-||x-y||^2/2σ^2)
其中,x和y为数据点,||·||为欧氏距离,σ为核函数的带宽参数。
2. 中心化处理公式:
将每一行和每一列的平均值都减去全局平均值,即:
K'(i,j) = K(i,j) - 1/n * ΣK(i,:) - 1/n * ΣK(:,j) + 1/n^2 * ΣK(:,:)
其中,n为数据点的数量。
3. 特征值和特征向量的计算公式:
K'v = λv
其中,K'为中心化后的核矩阵,v为特征向量,λ为特征值。
4. 投影公式:
将每个数据点x通过核函数映射到高维空间中,然后在新的特征空间中进行降维,即:
y = Φ(x)^T V
其中,Φ(x)为将x映射到高维空间后对应的向量,V为选择的前k个特征向量构成的矩阵,y为降维后的数据点。