矩阵分析与应用李保滨课件4中exercises中的第11题

第11题要求证明一个方阵的行列式等于其伴随矩阵的转置。

首先，我们定义方阵A的伴随矩阵为A的代数余子式矩阵的转置，记作A*。

假设A是一个n阶方阵，我们可以通过展开行列式公式来证明这一结论。

展开A的行列式公式为：det(A) = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n

其中，a11, a12, ... , a1n 分别表示矩阵A的第一行的元素，C11, C12, ... , C1n 分别表示矩阵A的第一行的代数余子式。

为了证明题目中的等式，我们先来看A*的第一列，即A的代数余子式矩阵的第一列。

根据代数余子式的定义，A*的第一列元素为：C11, C21, ... , Cn1

将上述元素与展开式中的各个元素对应相乘并相加，我们可以得到：

a11C11 + a12C21 + ... + a1nCn1

我们可以看出，上式中的每一项实际上是A的伴随矩阵A*的转置的第一行元素与A的第一行元素相乘的结果。

同理，我们可以验证上式中的每一项均为A*的转置的某一行元素与A的对应的某一列元素相乘的结果。

由此可得展开式 det(A) = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n 正好等于 A* 的转置的每一行元素与A的对应的每一列元素的乘积之和。

因此，我们可以得出结论：矩阵A的行列式等于其伴随矩阵A*的转置。