动态规划算法求最长公共子序列的时间复杂性

动态规划算法求解最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）的时间复杂性通常是O(nm)，其中n和m分别是两个输入序列的长度。这是因为动态规划算法通常使用一个二维数组来存储中间计算结果，数组的大小是输入序列长度的平方。在填充这个数组的过程中，每个位置的计算都需要看前两个位置，所以总共需要n*m次比较。

具体来说，算法会创建一个n+1×m+1的矩阵，从左上角开始，对于每一个位置(i, j)，都会检查序列1的第i个元素和序列2的第j个元素是否相等。如果相等，则该位置的值等于前一个位置的值加一；如果不相等，则选择前两个位置中较大的值作为当前位置的值。最后，矩阵右下角的值就是两个序列的最长公共子序列的长度。

相关问题

自适应动态规划算法程序matlab

### 回答1：
自适应动态规划算法是一种灵活的算法，可以根据问题的性质自动调整算法的参数，以获得更高的效率和更好的结果。下面将介绍如何用Matlab实现自适应动态规划算法程序。

首先，我们需要定义问题的状态和决策。状态是问题的规模和相关信息，决策是在给定状态下要做的选择。根据问题的不同，状态和决策的定义也会不同。

然后，我们需要定义递归函数。递归函数用于描述问题的最优子结构，即当前状态的最优解和子问题的最优解之间的关系。在函数中，我们通过递归调用自身来解决子问题，并使用动态规划的思想将中间结果保存起来，以避免重复计算。

接下来，我们需要定义状态转移方程。状态转移方程描述了当前状态如何由前一状态转移而来。在自适应动态规划算法中，我们需要根据问题的性质来选择合适的状态转移方程。通常情况下，状态转移方程是通过对问题进行建模，得到的一个函数表达式。

最后，我们需要定义边界条件。边界条件指定了问题的最小规模下的解，即递归函数的终止条件。在自适应动态规划算法中，边界条件通常是问题规模达到某个阈值时，使用其他算法或方法来求解。

综上所述，用Matlab实现自适应动态规划算法程序需要依次完成定义问题的状态和决策、定义递归函数、定义状态转移方程和定义边界条件这四个步骤。在实际编程中，我们还需要考虑输入输出的处理、中间结果的保存和查找等问题。通过这些步骤，我们可以使用Matlab编写一个自适应动态规划算法程序，用于解决各种复杂的优化问题。

### 回答2：
自适应动态规划算法是一种自适应的优化算法，它在动态规划的基础上结合了贪心算法和回溯算法，能够根据问题的特性和特定场景来灵活调整算法的策略。

在MATLAB中实现自适应动态规划算法，可以按照以下步骤进行：

1. 定义问题的状态和状态转移方程：根据具体的问题，确定问题的状态变量和状态转移方程。通常状态可以用一个或多个变量表示，状态转移方程描述了状态之间的关系。

2. 初始化动态规划表：根据问题的状态数目，创建一个动态规划表，用于存储中间结果。初始化表中的元素，通常将无效值或者无穷大值赋给表中的某些位置，以便在计算过程中进行比较和更新。

3. 确定优化策略：根据问题的特点和目标，确定算法的优化策略。可以考虑采用贪心策略或者回溯策略，或者结合二者，根据具体场景来决策。

4. 实现动态规划算法：根据状态变量、状态转移方程和优化策略，编写MATLAB程序来实现动态规划算法。通常使用循环结构来计算每个状态的值，并根据优化策略进行比较和更新。

5. 返回最优解：根据动态规划表中计算得到的最优值，回溯得到最优解。可以通过保存路径或者关联表格的方式来记录每个状态的选择，从而得到最优解。

在MATLAB中实现自适应动态规划算法时，需要注意程序的效率和运行时间。可以通过优化算法的策略、使用矩阵运算、避免重复计算等方式来提高算法的性能。

总的来说，实现自适应动态规划算法需要根据具体问题进行适当的调整和优化，灵活运用贪心算法和回溯算法，通过动态规划表来存储中间结果，并根据优化策略来计算每个状态的值，最终得到最优解。

### 回答3：
自适应动态规划算法是一种基于动态规划思想的算法，在处理复杂问题时具有很高的效率和灵活性。通过自适应的方式，可以根据问题的特点动态调整算法的具体实现，以求得更优的解。

在MATLAB中实现自适应动态规划算法，可以按照以下步骤进行：
1. 定义问题的状态：根据具体问题，定义问题的状态，并将其表示为一个二维数组。例如，对于最长公共子序列问题，可以定义状态为dp(i,j)，表示字符串A和B前i和j个字符的最长公共子序列的长度。
2. 初始化边界条件：根据问题的特点，初始化边界条件，并将其存储在状态数组中。例如，在最长公共子序列问题中，可以将dp(i,0)和dp(0,j)均初始化为0，表示空字符串与任意字符串的最长公共子序列长度均为0。
3. 确定状态转移方程：根据问题的特点，确定状态之间的转移关系，并将其表示为状态转移方程。例如，在最长公共子序列问题中，状态转移方程为dp(i,j) = dp(i-1,j-1) + 1，当A(i) = B(j)，否则为max(dp(i-1,j), dp(i,j-1))。
4. 根据状态转移方程，利用循环结构动态计算状态数组中的每一个元素。可以使用两层循环依次计算dp(i,j)的值，并存储在状态数组中。
5. 根据状态数组的最终结果，得到问题的最优解。例如，在最长公共子序列问题中，可以通过查找状态数组dp中的最后一个元素dp(m,n)来获取问题的最长公共子序列长度。

通过上述步骤，可以在MATLAB中实现自适应动态规划算法。根据具体问题的不同，可以灵活调整算法的实现，以达到更好的性能和效果。

贪心算法与动态规划思想解题的区别

贪心算法和动态规划思想都是解决优化问题的算法，但它们在解题思想和应用场景上有一些区别。

贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最优解的算法，即贪心策略。贪心算法通常用于解决无后效性问题，即某个状态以后的过程不会影响以前的状态，而且其所做出的每个局部最优解最终能够得到全局最优解。贪心算法的时间复杂度较低，常用于解决一些简单的问题，比如最小生成树、最短路等。

动态规划思想则是一种将问题分解成多个子问题来求解的算法。动态规划通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，即一个问题的最优解可以由其子问题的最优解推导得出。在动态规划中，需要记录并利用之前的计算结果来避免重复计算。动态规划的时间复杂度较高，但它可以解决许多复杂的问题，比如背包问题、最长公共子序列等。

总的来说，贪心算法适用于具有贪心选择性质的问题，而动态规划适用于具有最优子结构性质和重叠子问题的问题。