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用泰勒展开证明柯西不等式

时间: 2023-03-13 16:17:13 浏览: 182

距离函数的凸性-an786 mos管驱动电流计算

图 5.8 距离函数的凸性值得指出的是, f 的凸性等价于不等式 fp x` y 2 q ď 1 2 rfpxq ` fpyqs, 而这个不等式可以解释为平面三角形 P , px, 0q, py, 0q 中从 P 出发的中线的长度不超过从 P 出发的两条边的长度和的一半, 这件事实在中学就已经学过了. 习题 5.4 1. 研究下列函数的凸凹性: p1q fpxq “ xp p0 ă p ď 1q; p2q fpxq “ ax pa ą 0q; p3q fpxq “ x lnx. 2. 研究函数 fpxq “ x sinx 在区间 r0, π 2 s 上的凸性. 3. 设 fpxq 在 ra, bs 上连续, 在 pa, bq 内二阶可微, fpaq “ fpbq “ 0, 并且存在 c P pa, bq 使得 fpcq ą 0. 证明, 存在 ξ P pa, bq, 使得 f2pξq ă 0. 4. 证明, 如果 f , g 均为区间 I 上的凸函数, 则 maxtf, gu 也是 I 上的凸函数. 5. 设函数 fpxq 和 gpxq 均为凸函数, 且 f 单调递增, 则 fpgpxqq 也是凸函数. 6. 证明三次的实系数多项式不是凸函数. 7. 设 a, b ě 0, 证明下面的不等式: 2 arctan a` b 2 ě arctan a` arctan b. 8. 设 ai ą 0 p1 ď i ď nq, 证明下面的不等式: n 1 a1 ` 1 a2 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 an ď n ? a1a2 ¨ ¨ ¨ an. 9. 设 ai ą 0 p1 ď i ď nq, 且 n ř i“1 ai “ 1, 证明下面的不等式 xa11 x a2 2 ¨ ¨ ¨x an n ď n ÿ i“1 aixi, @ xi ě 0, 并求等号成立的条件.

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