随机向量 x服从 p元正态分布 ，回归系数b , 考虑如下的线性回归模型 y=bx+e , 其中随机误差项e 与x 相互独立，且e服从卡方（5），.从上述模型中产生独立同分布观测样本 . 在绝对值损失函数下建立中位数回归模型 (Median) (i) 建立中位数回归的线性优化模型

中位数回归是一种基于绝对值损失函数的非参数回归方法，它的目标是找到一个中位数估计量，即使得所有样本点到估计量的绝对距离之和最小。具体地，设样本数据为 $(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n)$，中位数估计量 $\hat{y}$ 满足以下条件：

$$\sum_{i=1}^n|y_i-\hat{y}|=\min_{y\in\mathbb{R}}\sum_{i=1}^n|y_i-y|$$

我们可以将中位数回归问题转化为一个线性规划问题。具体地，假设样本数据已经按照 $x$ 的大小排好序，中位数估计量 $\hat{y}$ 位于 $y_{(k)}$ 和 $y_{(k+1)}$ 之间，其中 $k$ 满足：

$$\sum_{i=1}^n[y_i\leq y_{(k)}]\geq \frac{n}{2}\quad\text{且}\quad \sum_{i=1}^n[y_i\geq y_{(k+1)}]\geq \frac{n}{2}$$

其中 $[P]$ 表示当 $P$ 为真时为 $1$，否则为 $0$。于是中位数回归模型可以表示为以下线性规划问题：

$$\min_{\beta,\delta}\sum_{i=1}^n\delta_i$$

$$\text{s.t.}\quad y_i-\beta x_i\leq \delta_i,\quad i=1,\cdots,n$$

$$\qquad\quad\ \beta x_i-y_i\leq \delta_i,\quad i=1,\cdots,n$$

$$\qquad\quad\ \delta_i\geq 0,\quad i=1,\cdots,n$$

其中 $\beta$ 是回归系数，$\delta_i$ 表示第 $i$ 个样本点的残差。这个线性规划问题可以用线性规划求解器进行求解。