若三个离散随机变量有如下关系X+Y=Z，其中X与Y统计独立，试比较下列函数关系： 1.H(X)与H(Z) 2.H(X)与H(Z) 3.H(XY)与H(Z) 4.H(X)与I(X;YZ)

1. H(X)与H(Z)：由于X与Y独立，因此H(XY) = H(X) + H(Y)，又因为Y=Z，所以H(Z) ≤ H(XY)，即H(X) ≤ H(Z)。

2. H(Y)与H(Z)：由于X与Y统计独立，因此Y与Z也独立，因此H(YZ) = H(Y) + H(Z)，又因为Z=Y，所以H(Y) ≤ H(Z)。

3. H(XY)与H(Z)：由于X与Y统计独立，因此H(XY) = H(X) + H(Y)，而Y=Z，因此H(XY) = H(X) + H(Z)，即H(XY) = H(X) + H(Z)。

4. H(X)与I(X;YZ)：由于X与Y独立，因此I(X;YZ) = H(X) - H(X|YZ)，又因为X与Y独立，所以H(X|YZ) = H(X)，因此I(X;YZ) = 0。因此H(X)和I(X;YZ)没有任何关系。

相关问题

已知X和Y是离散随机变量，证明E［X］=∑yE［X|Y=y］P｛Y=y｝

根据全期望公式，可以得出：

E[X] = E[E[X|Y]]

由于X和Y是离散随机变量，因此可以将上式中的条件期望展开为：

E[X] = ∑y E[X|Y=y] P{Y=y}

也就是说，期望值E[X]等于在所有Y的取值下，X在给定Y的条件下的期望值的加权平均，权重为Y的概率分布P{Y=y}。因此，该式得证。

已知离散型随机变量X，Y的边缘分布和X、Y的联合分布，以及X，Y的函数Z=XY的分布，求随机变量X和Z的联合分布

根据乘法公式，可以得到X和Z的联合概率分布为：

P(X=x, Z=z) = P(X=x) * P(Z=z|X=x)

其中，P(X=x)是已知的离散型随机变量X的边缘分布函数，P(Z=z|X=x)是条件概率分布函数Z|X的概率质量函数。

由于Z=XY，因此Z|X的分布可以表示为：

P(Z=z|X=x) = P(XY=z|X=x)

将Z=XY代入，得到：

P(Z=z|X=x) = P(Y=z/x=x) * P(X=x)

因此，X和Z的联合概率分布为：

P(X=x, Z=z) = P(X=x) * P(Y=z/x=x) * P(X=x)

由于已知X、Y的联合分布，可以通过边缘分布和联合分布之间的关系得到条件分布P(Y=z/x=x)，即：

P(Y=z/x=x) = ΣP(X=x, Y=y) / P(X=x) * δ(z-xy)

其中，δ是Kronecker δ函数，表示当z=xy时，函数值为1，否则为0。

因此，X和Z的联合概率分布为：

P(X=x, Z=z) = P(X=x) * ΣP(X=x, Y=y) / P(X=x) * δ(z-xy) * P(X=x)

化简得：

P(X=x, Z=z) = P(X=x)^2 * ΣP(X=x, Y=y) * δ(z-xy)

这就是X和Z的联合分布。