证明完全图具有哈密顿回路

对于完全图 $K_n$，每个顶点都与其他 $n-1$ 个顶点相连。我们可以构造一个哈密顿回路，即从某个顶点开始，按照任意顺序遍历其他所有顶点，最后回到起点。这个回路是存在的，因为每个顶点都与其他所有顶点相连，所以可以通过不同的路径到达每个顶点，而没有重复经过任何一个顶点。因此，可以按照任意顺序遍历所有顶点，最后回到起点，构成一个哈密顿回路。

相关问题

动态规划 哈密顿回路问题

哈密顿回路问题指的是在一个无向图中找到一条简单回路，该回路经过每个节点恰好一次。这个问题是一个经典的 NP-完全问题，意味着没有已知的多项式时间算法可以解决它。

动态规划是一种将问题分解成子问题并将其存储起来以避免重复计算的方法。对于哈密顿回路问题，可以使用动态规划来解决。具体步骤如下：

1. 定义状态：设dp[i][S]表示以i为终点，经过集合S中所有点的最短路径长度。

2. 初始化：dp[i][{i}] = 0，其他dp[i][S] = INF。

3. 状态转移：假设当前已经经过了集合S中的点，现在要从节点j到达节点i，那么dp[i][S]的值就为dp[j][S-{i}] + dis(i,j)，其中dis(i,j)表示节点i和节点j之间的距离。最终答案就是min{dp[i][(1<<n)-1]+dis(i,1)}，其中n为节点数。

这个算法的时间复杂度为O(n^22^n)，空间复杂度为O(n*2^n)。虽然时间复杂度很高，但是可以通过一些优化来降低计算量，例如状压优化、记忆化搜索等。

回溯法求解哈密顿回路c++

哈密顿回路问题是一个NP完全问题，目前还没有找到有效的多项式时间算法，因此我们只能使用回溯算法来求解。以下是使用C++实现的哈密顿回路问题的回溯算法：

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAXN = 20; // 最大顶点数
int n; // 顶点数
int G[MAXN][MAXN]; // 图的邻接矩阵
int path[MAXN]; // 保存当前的哈密顿回路
bool visited[MAXN]; // 标记顶点是否已经被访问过

bool dfs(int u, int depth) {
    if (depth == n) { // 找到了一个哈密顿回路
        if (G[u][1]) { // 判断是否能够从最后一个顶点回到第一个顶点
            path[depth] = 1; // 将第一个顶点加入回路中
            return true;
        }
        else {
            return false;
        }
    }

    for (int v = 2; v <= n; v++) { // 枚举所有可能的下一个顶点
        if (G[u][v] && !visited[v]) { // 如果存在边 (u,v) 并且顶点 v 没有被访问过
            path[depth] = v; // 将顶点 v 加入回路中
            visited[v] = true; // 标记顶点 v 已经被访问过
            if (dfs(v, depth + 1)) { // 继续递归搜索下一个顶点
                return true;
            }
            visited[v] = false; // 回溯，取消标记
        }
    }

    return false;
}

void hamilton() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        visited[i] = false;
    }
    visited[1] = true; // 从第一个顶点开始搜索
    path[1] = 1;
    dfs(1, 2); // 从第一个顶点出发，已经有一个顶点在回路中了
}

int main() {
    n = 5;
    G[1][2] = G[2][1] = 1;
    G[1][3] = G[3][1] = 1;
    G[1][4] = G[4][1] = 1;
    G[1][5] = G[5][1] = 1;
    G[2][3] = G[3][2] = 1;
    G[2][4] = G[4][2] = 1;
    G[2][5] = G[5][2] = 1;
    G[3][4] = G[4][3] = 1;
    G[3][5] = G[5][3] = 1;
    G[4][5] = G[5][4] = 1;

    hamilton();
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << path[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

上面的代码实现了一个求解哈密顿回路的简单例子，可以自行修改顶点数和邻接矩阵来测试不同的情况。