用julia语言编写完整程序：推导出递推公式，并编写程序，求解如下二维椭圆型偏微分方程 分析计算结果，并作图。

在Julia语言中，我们可以使用科学计算库DiffEq.jl来解决二维椭圆型偏微分方程（PDE）。首先，你需要安装这个库，如果还没有安装，可以输入`using Pkg; Pkg.add("DiffEq")`来进行安装。

下面是一个简单的示例，假设我们有一个二维线性扩散方程（也可能是椭圆型方程的一部分），其形式可能类似：

# 导入所需库
using DiffEq, Plots, LinearAlgebra

# 定义二维空间区域和步长
domain = (0., 1.)
dx = dy = 0.01

# 定义椭圆型系数（这里简化为均匀系数）
κ(x, y) = 1.

# 边界条件（例如简单的一对固定边界条件）
function boundary!(du, u, xL, xR, yB, yT)
    du[:, 1] .= 0.
    du[:, end] .= 0.
    du[1, :] .= 0.
    du[end, :] .= 0.
end

# 初始条件
u0(x, y) = sin(π * x) * cos(π * y)

# 使用有限差分法建立方程
function elliptic_pde!(du, u, p, t)
    κ(x, y) * (∇²u) + other_terms = ... # 填充其他项，如源项
    du .= other_terms
end

# 时间步进大小
dt = dx^2 / κ(domain[1], domain[2])

# 解决方程
prob = DiffEq.EquationProblem(eliptic_pde!, u0, domain, dt, boundary!)
sol = solve(prob, abstol=1e-8, reltol=1e-6)

# 计算结果分析
tspan = sol.tspan
solution = sol(u)

# 绘制二维图像
heatmap(solution, title="Solution of the Elliptic PDE", c=:hot, aspect_ratio=1)
xlabel!("x")
ylabel!("y")

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