给定一个 N×MN×M 的矩阵 AA,请你统计有多少个子矩阵 (最小 1×11×1,最大 N×MN×M) 满足子矩阵中所有数的和不超过给定的整数 KK?
时间: 2024-05-22 07:14:38 浏览: 14
思路:前缀和+二分
首先计算矩阵的前缀和,然后枚举子矩阵的左上角和右下角,计算该子矩阵的和。
这个过程中可以使用二分查找来确定右下角的位置。具体地,假设当前枚举的左上角为 $(i,j)$,则右下角的行数必须不小于 $i$,列数必须不小于 $j$,否则子矩阵的大小会小于 $1\times1$。因此,我们可以枚举右下角的行号 $r$,然后使用二分查找确定最小的列号 $c$,使得子矩阵 $(i,j)\sim(r,c)$ 的和不超过 $K$。这个过程可以在 $O(\log M)$ 的时间内完成。
由于行和列都是独立的,因此我们可以分别计算行和列的前缀和,然后分别枚举行和列的位置,计算子矩阵的和。这样时间复杂度就降到了 $O(NM\log M)$。
时间复杂度:$O(NM\log M)$
参考代码:
相关问题
给定一个仅包含0和1的n二维矩阵请计算二维矩阵的最大值
计算一个仅包含0和1的n二维矩阵的最大值,可以使用动态规划的方法来解决。
首先,我们可以定义一个辅助矩阵dp,它的大小和给定的二维矩阵相同。dp[i][j]表示以第i行、第j列为右下角的正方形的最大边长。
然后,我们可以利用动态规划的思想来填充dp矩阵。遍历原始矩阵的每个元素,如果该元素为0,则dp[i][j]为0;如果该元素为1,则dp[i][j]的值可以通过以下方式计算:
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1
最后,我们可以找到dp矩阵中的最大值,即为最大正方形的边长。
这种方法的时间复杂度是O(n^2),空间复杂度也是O(n^2)。
举个例子来说明,给定的二维矩阵如下:
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
对应的dp矩阵如下:
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 2 2
1 0 0 1 0
dp矩阵的最大值是2,所以最大正方形的边长是2,对应的最大值也就是4。
通过动态规划的方法,我们可以高效地求解一个仅包含0和1的n二维矩阵的最大值。
如何用java实现给定一个 N×M 的矩阵 A,请你统计有多少个子矩阵 (最小 1×1,最大 N×M) 满足子矩阵中所有数的和不超过给定的整数 K? 输入格式 第一行包含三个整数 N,M 和 K 。 ...
这是一个比较常见的问题,可以使用动态规划来解决。具体的做法如下:
1. 首先定义一个二维数组 sum,其中 sum[i][j] 表示矩阵 A 中从 (1,1) 到 (i,j) 所有数的和。
2. 然后枚举所有可能的子矩阵,对于每个子矩阵,可以通过 sum 数组来计算其和。
3. 如果子矩阵的和小于等于 K,则计数器加一。
4. 最后返回计数器的值即可。
Java 代码如下:
```
public static int countSubMatrix(int[][] A, int N, int M, int K) {
int[][] sum = new int[N+1][M+1];
int count = 0;
// 初始化 sum 数组
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 1; j <= M; j++) {
sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + A[i-1][j-1];
}
}
// 枚举所有子矩阵
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 1; j <= M; j++) {
for (int p = 1; p <= i; p++) {
for (int q = 1; q <= j; q++) {
int subSum = sum[i][j] - sum[i][q-1] - sum[p-1][j] + sum[p-1][q-1];
if (subSum <= K) {
count++;
}
}
}
}
}
return count;
}
```
需要注意的是,这个算法的时间复杂度为 O(N^4),对于比较大的矩阵可能会超时。可以尝试使用其他算法来优化。