[证明]一个数能被3整除，当且仅当它的各位数的和能被3整除。

### 回答1：
证明：

设一个三位数 $n$，其百位、十位、个位分别为 $a$、$b$、$c$，则 $n=100a+10b+c$。

对于 $n$ 能否被 $3$ 整除，有以下两种情况：

1. $n$ 能被 $3$ 整除。

则有 $n=3k$，其中 $k$ 是一个整数。

将 $n$ 展开，得到 $100a+10b+c=3k$，也就是 $99a+9b+(a+b+c)=3k$。

因为 $99a+9b$ 能被 $3$ 整除，所以 $a+b+c$ 必须能被 $3$ 整除。

2. $n$ 不能被 $3$ 整除。

则有 $n=3k+1$ 或 $n=3k+2$，其中 $k$ 是一个整数。

将 $n$ 展开，得到 $100a+10b+c=3k+1$ 或 $100a+10b+c=3k+2$。

对于第一种情况，$99a+9b+(a+b+c)+1=3k+1$，即 $99a+9b+(a+b+c)=3k$，$a+b+c$ 不能被 $3$ 整除。

对于第二种情况，$99a+9b+(a+b+c)+2=3k+2$，即 $99a+9b+(a+b+c)=3k$，$a+b+c$ 不能被 $3$ 整除。

综上所述，一个数能被 $3$ 整除，当且仅当它的各位数的和能被 $3$ 整除。

### 回答2：
证明：
假设一个数n能被3整除，即n=k*3，其中k为整数。
将这个数n表示为各位数相加的形式，即n=a1*10^(n-1)+a2*10^(n-2)+...+an，其中a1,a2,...,an为各位上的数字。
将n除以3得到的余数为0，即n/3的余数为0。
(a1*10^(n-1)+a2*10^(n-2)+...+an)/3的余数为0。
将每一项除以3的余数相加得到0。
对于每一项a1*10^(n-1)/3的余数为0，因为10^(n-1)是10的倍数，所以其整数倍除以3的余数都为0。
同理，对于每一项a2*10^(n-2)/3的余数为0，以此类推，对于每一项an/3的余数为0。

因此，一个数n能被3整除，当且仅当它的各位数的和能被3整除。

举例说明：
假设一个数n=246，将它表示为各位数相加的形式，即n=2*100+4*10+6。
因为2*100/3的余数为0，4*10/3的余数为0，6/3的余数为0。
所以n=246/3的余数为0，即n能被3整除。

另外，如果一个数的各位数的和能被3整除，且各位数的和为s，即s/3的余数为0，那么这个数n=a1*10^(n-1)+a2*10^(n-2)+...+an也能整除3。
因为对于每一项ai*10^(n-i)/3的余数为0，所以将每一项除以3的余数相加得到的和一定为0，即n/3的余数为0。

综上所述，一个数能被3整除，当且仅当它的各位数的和能被3整除。

### 回答3：
证明：一个数能被3整除，当且仅当它的各位数的和能被3整除。

我们先证明充分性，即如果一个数的各位数的和能被3整除，那么这个数也能被3整除。

假设这个数是n，它的各位数分别为a1, a2, ..., ak。那么n可以表示为：

n = a1 * 10^(k-1) + a2 * 10^(k-2) + ... + ak * 10^0

我们知道10除以3余1，所以10^i除以3余1的。因此，n可以表示为：

n = a1 * 1^(k-1) + a2 * 1^(k-2) + ... + ak * 1^0 (mod 3)

根据模运算的性质，1的任意次幂都等于1。因此，上式可以简化为：

n = a1 + a2 + ... + ak (mod 3)

由于a1, a2, ..., ak都是各位数，它们相加的和能被3整除。所以n能被3整除。

接下来我们证明必要性，即如果一个数能被3整除，那么它的各位数的和能被3整除。

假设这个数是n，它可以表示为：

n = a1 * 10^(k-1) + a2 * 10^(k-2) + ... + ak * 10^0

我们已经知道10除以3余1，所以10^i除以3余1。因此，n可以表示为：

n = a1 * 1^(k-1) + a2 * 1^(k-2) + ... + ak * 1^0 (mod 3)

根据模运算的性质，1的任意次幂都等于1。因此，上式可以简化为：

n = a1 + a2 + ... + ak (mod 3)

由于n能被3整除，所以n模3余0。根据模运算的性质，如果一个数模3余0，那么它的各位数的和也模3余0。

综上所述，一个数能被3整除，当且仅当它的各位数的和能被3整除。