∇2f=0，求出(Fki+1,j-2Fk+1i,j+Fki-1,j)/△x2 +(Fki,j+1-2Fk+1i,j+Fki,j-1)/△y2=0

根据泊松方程 ∇2f=0，可以得到：

(Fki+1,j-2Fki,j+Fki-1,j)/△x2 + (Fki,j+1-2Fki,j+Fki,j-1)/△y2 = 0

移项并整理可得：

(Fki+1,j-2Fki,j+Fki-1,j)/(△x2) = (2Fki,j-Fki,j+1-Fki,j-1)/(△y2)

将右边的式子带入题目所求的式子中，可得：

(Fki+1,j-2Fki,j+Fki-1,j)/(△x2) = (2Fki,j-Fki,j+1-Fki,j-1)/(△y2)

× (Fki,j+1-2Fki,j+Fki,j-1)/(△y2) = 0

化简可得：

(Fki+1,j-2Fki,j+Fki-1,j)/(△x2) × Fki,j+1 - 2Fki,j × (Fki,j+1+Fki,j-1)/(△y2) + (Fki+1,j-2Fki,j+Fki-1,j)/(△x2) × Fki,j-1 = 0

即：

(Fki+1,j-2Fki,j+Fki-1,j) × Fki,j+1 - 2Fki,j × (Fki,j+1+Fki,j-1) + (Fki+1,j-2Fki,j+Fki-1,j) × Fki,j-1 × (△x2)/(△y2) = 0

因此，题目所求的式子为：

(Fki+1,j-2Fki,j+Fki-1,j) × Fki,j+1 - 2Fki,j × (Fki,j+1+Fki,j-1) + (Fki+1,j-2Fki,j+Fki-1,j) × Fki,j-1 × (△x2)/(△y2) = 0

相关问题

∇2f=0,f=e^(-π)y sin(πx),求出(Fki+1,j-2Fk+1i,j+Fki-1,j)/△x2 +(Fki,j+1-2Fk+1i,j+Fki,j-1)/△y2=0

首先，根据题意，可以得到：

Fki,j = e^(-πy)sin(πx)

然后，根据定义，有：

(Fki,j+1 - 2Fki,j + Fki,j-1)/△y^2 = 0

(Fki+1,j - 2Fki,j + Fki-1,j)/△x^2 = 0

将Fki,j代入上述公式中，得到：

(e^(-π(y+△y))sin(πx) - 2e^(-πy)sin(πx) + e^(-π(y-△y))sin(πx))/△y^2 = 0

(e^(-πy)sin(π(x+△x)) - 2e^(-πy)sin(πx) + e^(-πy)sin(π(x-△x)))/△x^2 = 0

化简上述公式，得到：

(e^(π△y) + 2 - 2e^(-π△y))/△y^2 = 0

(e^(π△x) + 2 - 2e^(-π△x))/△x^2 = 0

进一步化简，得到：

(e^(π△y) - 1)/△y^2 = (1 - e^(-π△y))/△y^2

(e^(π△x) - 1)/△x^2 = (1 - e^(-π△x))/△x^2

因此，可以得到：

(Fki,j+1 - 2Fki,j + Fki,j-1)/△y^2 ≈ (1 - e^(-π△y))/△y^2 * Fki,j

(Fki+1,j - 2Fki,j + Fki-1,j)/△x^2 ≈ (1 - e^(-π△x))/△x^2 * Fki,j

进一步展开，得到：

(Fki,j+1 - 2Fki,j + Fki,j-1)/△y^2 ≈ (1 - π△y + O(△y^2))/△y^2 * Fki,j

(Fki+1,j - 2Fki,j + Fki-1,j)/△x^2 ≈ (1 - π△x + O(△x^2))/△x^2 * Fki,j

因此，可以得到：

(Fki,j+1 - 2Fki,j + Fki,j-1)/△y^2 ≈ (1 - π△y)/△y^2 * Fki,j

(Fki+1,j - 2Fki,j + Fki-1,j)/△x^2 ≈ (1 - π△x)/△x^2 * Fki,j

将上述公式代入题目中的式子，得到：

(Fki,j+1 - 2Fki,j + Fki,j-1)/△y^2 - (Fki+1,j - 2Fki,j + Fki-1,j)/△x^2 ≈ (π/△x^2 + π/△y^2) * Fki,j

化简上述公式，得到：

(Fki,j+1 - 2Fki,j + Fki,j-1) * △x^2 - (Fki+1,j - 2Fki,j + Fki-1,j) * △y^2 ≈ π(△x^2 + △y^2) * Fki,j

因此，最终的答案为：

(Fki,j+1 - 2Fki,j + Fki,j-1) * △x^2 - (Fki+1,j - 2Fki,j + Fki-1,j) * △y^2 = π(△x^2 + △y^2) * Fki,j