知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     上一点 P 到两个焦点的距离之和为 4，离心率为 1 2 ． (1)求椭圆 C 的方程

椭圆的标准方程为：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

其中，$a$ 为椭圆的长轴，$b$ 为椭圆的短轴。

知道离心率 $e=\frac{c}{a}$，其中 $c$ 为椭圆的两个焦点到圆心的距离之和。因此，离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆的长轴为 $a=2c=4$。

因为你给出的方程中有 $C$ ，所以这个椭圆的圆心位于原点。所以，这个椭圆的方程为：

$$\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

由于我们还不知道 $b$ 的值，所以这个方程是未定义的。但是，可以通过给出的条件来求出 $b$ 的值。

知椭圆 $(x-a)^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ 上一点 $P$ 到两个焦点的距离之和为 $4$，则 $2c=4$。

知 $c=a\sqrt{1-b^2/a^2}$，则 $2a\sqrt{1-b^2/a^2}=4$。

因为 $a=4$，所以 $\sqrt{1-b^2/4^2}=1/2$。

又因为 $b<a$，所以 $b^2/4^2<1$，$b^2<16$。

所以 $b^2=4$，$b=2$。

所以，这个椭圆的方程为：

$$\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$$

即：

$$x^2 + y^2 = 16$$

这就是这个椭圆的方程。