编写一个快速傅里叶变换

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的算法，用于计算一个信号的多项式修正的傅里叶变换。FFT 可以将傅里叶变换的计算时间从 O(n^2) 降低到 O(n log n)。

下面是一个简单的 FFT 算法的实现：

def fft(x):
    n = len(x)
    if n == 1:
        return x
    even = fft(x[0::2])
    odd = fft(x[1::2])
    T = [exp(-2j * pi * k / n) * odd[k] for k in range(n // 2)]
    return [even[k] + T[k] for k in range(n // 2)] + [even[k] - T[k] for k in range(n // 2)]

这个算法采用了分治算法的思想，首先计算出 x 的偶数位和奇数位的 FFT，然后再将它们合并起来。此外，还使用了一些复数的运算来辅助计算。

调用 fft 函数的时候，需要传入一个长度为 2^k 的信号 x，函数会返回信号的 FFT 结果。

例如，计算 x=[1, 2, 3, 4] 的 FFT，可以这样做：

fft([1, 2, 3, 4])

这个函数的输出是：

[10.0, -2.0 + 2.0j, -2.0, -2.0 - 2.0j]

FFT 算法在信号处理、数值计算、图像处理等领域有广泛的应用。

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成信号
t = np.linspace(0, 1, 1000, endpoint=False)
x = np.sin(2*np.pi*10*t) + np.sin(2*np.pi*20*t)

# 进行快速傅里叶变换
fft_x = np.fft.fft(x)

# 计算频率轴
freqs = np.fft.fftfreq(len(x), t[1]-t[0])

# 绘制频谱图
plt.plot(freqs, np.abs(fft_x))
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.show()

在这个示例中，我们生成了一个包含两个正弦波的信号，并对其进行了快速傅里叶变换。然后，我们计算了频率轴，并使用Matplotlib库绘制了频谱图。你可以根据需要更改信号的参数来尝试不同的频谱图。

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