证明矩阵级数收敛的充分条件是谱半径小于1

对于矩阵级数$\sum_{n=0}^{\infty}A_n$，我们定义其部分和为$S_k=\sum_{n=0}^{k}A_n$，其中$A_n$为矩阵序列中的第$n$项。

如果矩阵级数收敛，那么它的极限矩阵$S$应该满足以下条件：$$\lim_{k\to\infty}S_k=S$$

我们考虑矩阵级数的谱半径：$$\rho(\sum_{n=0}^{\infty}A_n)=\lim_{k\to\infty}\|S_k\|^{\frac{1}{k}}$$

如果谱半径小于1，即$\rho(\sum_{n=0}^{\infty}A_n)<1$，那么我们可以证明矩阵级数收敛。

证明如下：

由于$\rho(\sum_{n=0}^{\infty}A_n)<1$，所以存在一个正实数$q$，使得$\rho(\sum_{n=0}^{\infty}A_n)<q<1$。

对于任意的$k\in\mathbb{N}$，我们有$$\|S_{k+p}-S_k\|\le\sum_{n=k+1}^{k+p}\|A_n\|$$

将$p$取为任意正整数，我们有$$\|S_{k+p}-S_k\|\le\sum_{n=k+1}^{k+p}\|A_n\|\le q^{k+1}\sum_{n=0}^{\infty}\|A_n\|\le q^{k+1}\sum_{n=0}^{\infty}\|A_n\|$$

由于级数$\sum_{n=0}^{\infty}\|A_n\|$收敛，所以对于任意的$\epsilon>0$，存在正整数$N$，使得当$p>N$时，$\sum_{n=k+1}^{k+p}\|A_n\|<\epsilon$。

因此，我们有$$\|S_{k+p}-S_k\|\le q^{k+1}\sum_{n=0}^{\infty}\|A_n\|<\epsilon q^{k+1}$$

由于$q<1$，所以$\epsilon q^{k+1}\to0$，当$k\to\infty$时。

因此，对于任意的$\epsilon>0$，存在正整数$N$，使得当$k>N$时，$\|S_{k+p}-S_k\|<\epsilon$，即$\{S_k\}$是柯西序列。

由于矩阵空间是完备的，所以$\{S_k\}$收敛，且其极限矩阵$S$满足$\lim_{k\to\infty}S_k=S$。

因此，我们证明了矩阵级数谱半径小于1是其收敛的充分条件。