线性回归和局部加权线性回归UCL数据库实战

线性回归和局部加权线性回归是两种常用的回归分析方法，广泛应用于数据科学和机器学习领域。下面我将通过UCL（伦敦大学学院）数据库的实战案例来介绍这两种方法。

### 线性回归

线性回归是一种用于预测连续变量的统计方法。它通过建立自变量和因变量之间的线性关系来进行预测。线性回归的数学模型可以表示为：

\[ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \cdots + \beta_n x_n + \epsilon \]

其中，\( y \) 是因变量，\( x_1, x_2, \ldots, x_n \) 是自变量，\( \beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_n \) 是回归系数，\( \epsilon \) 是误差项。

#### 实战步骤：

1. **数据准备**：从UCL数据库中获取数据集，并进行必要的预处理，如处理缺失值、异常值等。
2. **特征选择**：选择与因变量相关的自变量。
3. **模型训练**：使用线性回归模型进行训练，求解回归系数。
4. **模型评估**：使用均方误差（MSE）、决定系数（R²）等指标评估模型性能。
5. **预测**：使用训练好的模型进行预测。

### 局部加权线性回归

局部加权线性回归（Locally Weighted Linear Regression, LWLR）是一种非参数回归方法，通过对每个预测点附近的样本点进行加权来拟合局部线性模型。LWLR的数学模型可以表示为：

\[ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \cdots + \beta_n x_n \]

与线性回归不同的是，LWLR在训练过程中对每个样本点赋予一个权重，通常使用高斯核函数进行加权。

#### 实战步骤：

1. **数据准备**：同上。
2. **特征选择**：同上。
3. **权重计算**：根据高斯核函数计算每个样本点的权重。
4. **模型训练**：使用加权线性回归模型进行训练，求解回归系数。
5. **模型评估**：同上。
6. **预测**：使用训练好的模型进行预测。

### 实战案例

假设我们有一个关于房价的数据集，其中包含房屋面积、房间数量、地理位置等信息。我们希望使用线性回归和局部加权线性回归来预测房价。

#### 线性回归实现：

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score

# 数据准备
X = dataset[['area', 'rooms', 'location']]
y = dataset['price']

# 特征选择
X = X.values
y = y.values

# 模型训练
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)

# 模型评估
y_pred = model.predict(X)
mse = mean_squared_error(y, y_pred)
r2 = r2_score(y, y_pred)

print('MSE:', mse)
print('R²:', r2)

#### 局部加权线性回归实现：

import numpy as np

def gaussian_kernel(x, x0, tau):
    return np.exp(-np.sum((x - x0) ** 2) / (2 * tau ** 2))

def locally_weighted_linear_regression(X, y, x0, tau):
    weights = gaussian_kernel(X, x0, tau)
    W = np.diag(weights)
    X_bias = np.hstack((np.ones((X.shape[0], 1)), X))
    theta = np.linalg.inv(X_bias.T.dot(W).dot(X_bias)).dot(X_bias.T).dot(W).dot(y)
    return theta

# 数据准备
X = dataset[['area', 'rooms', 'location']].values
y = dataset['price'].values

# 预测
x0 = np.array([area_to_predict, rooms_to_predict, location_to_predict])
theta = locally_weighted_linear_regression(X, y, x0, tau)
predicted_price = theta[0] + theta[1] * area_to_predict + theta[2] * rooms_to_predict + theta[3] * location_to_predict

print('Predicted Price:', predicted_price)

通过上述步骤，我们可以分别使用线性回归和局部加权线性回归对房价进行预测，并评估模型的性能。