请证明在$\mathbf{E}$步中, $LL(\Theta|\X)$可以被分拆为两项: \begin{align*} LL(\Theta \given \X) = Q(\Theta \given \Theta^t) - H(\Theta \given \Theta^t), \end{align*} 其中$H(\Theta \given \Theta_t) = \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) \ln P(\bds{Z} \given \X, \Theta)$, $Q(\Theta \given \Theta^t)$

首先，我们回顾一下EM算法的基本思想：通过引入“隐藏变量”$\mathbf{Z}$，将似然函数$LL(\Theta|\X)$拆分成两个部分，即$Q(\Theta|\Theta^t)$和$H(\Theta|\Theta^t)$，然后在每次迭代中，分别最大化这两个部分，直到收敛。

接下来，我们就来证明在$\mathbf{E}$步中，$LL(\Theta|\X)$可以被分拆为$Q(\Theta|\Theta^t)$和$H(\Theta|\Theta^t)$两项。

首先，我们将$LL(\Theta|\X)$表示为以下形式：
\begin{align*}
LL(\Theta|\X) &= \sum_{\mathbf{Z}} P(\mathbf{Z}|\X,\Theta^t) \ln P(\X,\mathbf{Z}|\Theta) \\
&= \sum_{\mathbf{Z}} P(\mathbf{Z}|\X,\Theta^t) \ln \left[ P(\X|\mathbf{Z},\Theta) P(\mathbf{Z}|\Theta) \right] \\
&= \sum_{\mathbf{Z}} P(\mathbf{Z}|\X,\Theta^t) \ln P(\X|\mathbf{Z},\Theta) + \sum_{\mathbf{Z}} P(\mathbf{Z}|\X,\Theta^t) \ln P(\mathbf{Z}|\Theta) \\
&= Q(\Theta|\Theta^t) + H(\Theta|\Theta^t)
\end{align*}

其中，$Q(\Theta|\Theta^t) = \sum_{\mathbf{Z}} P(\mathbf{Z}|\X,\Theta^t) \ln P(\X|\mathbf{Z},\Theta)$，表示在已知当前参数$\Theta^t$和观测数据$\X$的条件下，$\mathbf{Z}$的期望对数似然；$H(\Theta|\Theta^t) = \sum_{\mathbf{Z}} P(\mathbf{Z}|\X,\Theta^t) \ln P(\mathbf{Z}|\Theta)$，表示在已知当前参数$\Theta^t$和观测数据$\X$的条件下，$\mathbf{Z}$的熵。

因此，我们成功地将$LL(\Theta|\X)$分解成了两个部分，即$Q(\Theta|\Theta^t)$和$H(\Theta|\Theta^t)$，这就完成了我们的证明。