请回答以下问题。图示电路中开关处于闭合状态，在换路前已经达到稳态，U等于12V，R1等于5欧姆，R2等于10欧姆，C1等于1F，C2等于0.5F 。t等于0时断开开关，求（1）电流初值；（2）电容C2的电压一阶导数的初值。图片链接为：https://postimg.cc/62XgmQp4

根据电路可以列出如下的微分方程组：

$\begin{cases}
\frac{d(Q_1+Q_2)}{dt}=\frac{U}{R_1}+\frac{Q_2}{R_2}\\
\frac{dQ_2}{dt}=-\frac{Q_2}{R_2C_2}
\end{cases}$

其中 $Q_1$ 和 $Q_2$ 分别为电容 $C_1$ 和 $C_2$ 上的电荷量。在开关闭合时，电路达到稳态，即 $C_1$ 上的电压等于 $C_2$ 上的电压，为 $U$，所以 $Q_1 = C_1 U$，$Q_2 = C_2 U$。在开关断开时，代入初始条件 $Q_1(0) = C_1 U$，$Q_2(0) = C_2 U$，可以得到：

（1）电流初值为 $\frac{U}{R_1} + \frac{C_2 U}{R_2}$；

（2）电容 $C_2$ 的电压一阶导数的初值为 $-\frac{U}{2 R_2 C_2}$。

相关问题

请回答以下问题。图示电路中开关处于断开状态，在换路前已经达到稳态，U等于60V，R1等于10欧姆，R2等于5欧姆，C1等于2F，C2等于1F，L等于1H 。t等于0时闭合开关，求开关支路电流的初值。图片链接为：https://postimg.cc/svXCp1LT

根据题意，我们可以将电路中的元件分别进行等效转换，得到如下电路：


其中，C1和R1并联，C2和R2并联，可以先求出它们的等效电阻和等效电容：

$R_{eq1} = R1 = 10Ω$

$C_{eq1} = C1 = 2F$

$R_{eq2} = R2 = 5Ω$

$C_{eq2} = C2 = 1F$

然后，我们可以使用基尔霍夫电压定律（KVL）来解出电路中的电流关系。在开关处于断开状态时，电路中的电压为U，因此可以列出方程：

$U = IR_{eq1} + \frac{q}{C_{eq1}} + IR_{eq2} + L\frac{dI}{dt}$

其中，q是电容器C1中的电荷量，I是电路中的电流，dI/dt是电流变化的速率。在t=0时刻，开关闭合，电路中的电流会发生突变，但是q和dI/dt并没有突变，因此可以得到：

$I_{初} = \frac{U}{R_{eq1}+R_{eq2}}$

将各个元素的值代入计算，可得：

$I_{初} = \frac{60V}{10Ω+5Ω} = 4A$

因此，开关支路电流的初值为4A。

请回答以下问题。图示电路中开关s处于断开状态，在换路前已经达到稳态，U等于3V，R1等于5欧姆，R2等于2欧姆，R3等于2欧姆，R4等于2欧姆，C1等于0.1F，i(t)等于2A。t等于0时闭合开关s，求t>0时的u(t)。图片链接为：https://postimg.cc/qtKy7sHS

根据基尔霍夫电压定律，我们可以列出以下方程：

(1) u(t) - i(t)R1 - (u(t)-U)/R2 - (u(t)-0)/R3 = 0

(2) i(t) = C1 * du(t)/dt

根据题意，t=0时开关s处于断开状态，电路已经达到稳态，因此可以得到：

u(0) = 3V
du(0)/dt = 0

将方程(2)带入方程(1)中，得到：

u(t) - 2C1R1 * d²u(t)/dt² - (u(t)-U)/R2 - u(t)/R3 = 0

整理得到二阶常系数齐次微分方程：

d²u(t)/dt² + (R2*R3*C1 + R2*R1*C1 + R3*R1*C1)/(R1*R2*R3*C1) * du(t)/dt + U/(R1*R3*C1) * u(t) = 0

求解该微分方程，可以得到u(t)的表达式：

u(t) = Ae^(αt)cos(βt) + Be^(αt)sin(βt)

其中：

α = -(R2*R3*C1 + R2*R1*C1 + R3*R1*C1)/(2*R1*R2*R3*C1)

β = sqrt(U/(R1*R3*C1) - α²)

代入初始条件u(0)=3V和du(0)/dt=0，可以得到：

A = 3

B = 0

因此，最终得到u(t)的表达式为：

u(t) = 3e^(αt)cos(βt)

其中

α = -(R2*R3*C1 + R2*R1*C1 + R3*R1*C1)/(2*R1*R2*R3*C1) = -0.2

β = sqrt(U/(R1*R3*C1) - α²) = 6.1644

因此，最终得到u(t)的表达式为：

u(t) = 3e^(-0.2t)cos(6.1644t)