伽马分布参数极大似然估计

伽马分布是一种常见的连续概率分布，它有两个参数：形状参数k和尺度参数θ。假设我们有一组来自伽马分布的独立、同分布的样本{x1, x2, ..., xn}，现在我们的目标是利用这些样本来估计伽马分布的参数。

伽马分布的概率密度函数为：

f(x|k,θ) = (1/(θ^k * Γ(k))) * x^(k-1) * exp(-x/θ)

其中，Γ(k)是Euler's gamma函数。

我们可以使用极大似然估计法来估计伽马分布的参数。假设我们已经得到了样本{x1, x2, ..., xn}，我们需要找到一个参数组(k*,θ*)，使得这个参数组下的伽马分布的概率密度函数的似然函数最大。

似然函数为：

L(k,θ|x1,x2,...,xn) = ∏(f(xi|k,θ))

取对数得到对数似然函数：

lnL(k,θ|x1,x2,...,xn) = ∑ln(f(xi|k,θ))
= n*k*lnθ - n*lnΓ(k) + (k-1)*∑ln(xi) - (1/θ)*∑xi

我们需要对对数似然函数求偏导数，然后令偏导数为0，解出最大化对数似然函数的参数k*和θ*。

对数似然函数对k的偏导数为：

d(lnL(k,θ|x1,x2,...,xn))/dk = n*lnθ - n*ψ(k) + ∑ln(xi)

其中，ψ(k)是Euler's digamma函数。

对数似然函数对θ的偏导数为：

d(lnL(k,θ|x1,x2,...,xn))/dθ = n*k/θ - (1/θ)*∑xi

解出k*和θ*的方程组为：

ψ(k*) = (1/n)*∑ln(xi) - lnθ*
k* = - (ψ(k+1) - ψ(k*)) / ln(xi*)
θ* = (1/n) * ∑xi* / k*

其中，xi*是样本的均值。这就是伽马分布参数的极大似然估计方法。