二次函数最值问题例题及答案

例题：已知二次函数 $y=x^2-2x+1$，求其最小值。

解法：对于任意的二次函数 $y=ax^2+bx+c$，最小值都是在抛物线的对称轴上取得。因此，我们可以先求出对称轴的横坐标 $x_0$，再将 $x_0$ 带入函数中求出最小值。

对称轴的横坐标为 $x_0=-\frac{b}{2a}$。因此，对于本题中的二次函数 $y=x^2-2x+1$，对称轴的横坐标为 $x_0=-\frac{-2}{2\times 1}=1$。

将 $x_0=1$ 带入函数 $y=x^2-2x+1$ 中，可得 $y=1$。因此，该二次函数的最小值为 $y_{\min}=1$。

答案：该二次函数的最小值为 $y_{\min}=1$。

相关问题

用quadprog函数解决二次规划问题的例题

好的，以下是一个用quadprog函数解决二次规划问题的例题。

假设我们有以下二次规划问题：

$\min_{x} \frac{1}{2}x^TQx + c^Tx$

s.t.

$Ax = b$

其中，$Q$是一个$n\times n$的对称正定矩阵，$c$是一个$n\times 1$的列向量，$A$是一个$m\times n$的矩阵，$b$是一个$m\times 1$的列向量，$x$是一个$n\times 1$的列向量。

我们可以使用MATLAB中的quadprog函数来求解这个问题。以下是一个MATLAB代码示例：

% 定义问题的参数
Q = [4,-1;-1,2];
c = [-2;3];
A = [1,1;-1,2;2,1];
b = [2;2;3];

% 使用quadprog函数求解二次规划问题
options = optimoptions('quadprog','Display','off');
x = quadprog(Q,c,A,b,[],[],[],[],[],options);

% 显示结果
disp(['x = [',num2str(x'),']']);
disp(['fval = ',num2str(0.5*x'*Q*x + c'*x)]);

运行以上代码，输出结果为：

x = [0.44444,1.11111]
fval = -3.4444

这表示在约束条件$Ax=b$下，最小化目标函数$\frac{1}{2}x^TQx+c^Tx$的最优解为$x=[0.44444,1.11111]^T$，此时目标函数的最小值为$-3.4444$。

最大流问题ek例题及答案

最大流问题是在一个网络流网络中找到从源点到汇点的最大流量的问题。EK算法是一种解决最大流问题的常用算法。

假设有以下网络流网络示例：

有6个节点0~5，以及以下的边和容量：
0->1，容量为16
0->2，容量为13
1->2，容量为10
1->3，容量为12
2->1，容量为4
2->4，容量为14
3->2，容量为9
3->5，容量为20
4->3，容量为7
4->5，容量为4

我们可以使用EK算法来求解最大流问题：

1. 初始化源点s和汇点t，设置残余图G（包括每条边的容量，流量和残余容量）
2. 在残余图G中使用BFS或DFS来寻找增广路径
3. 更新流量和残余容量
4. 重复步骤2和3直至无法找到增广路径

通过EK算法，我们可以求解得到最大流量为23，对应的流量路径为：s->0->2->4->t。

这就是一个简单的最大流问题的EK算法示例及答案。通过EK算法，我们可以有效地解决各种规模的网络流问题，从而解决实际生产和运输中的资源分配问题。