Show that there exists a bijection between (0, 1) × (0, 1) and (0, 1).

可以通过构造一个双射来证明 (0, 1) × (0, 1) 和 (0, 1) 之间存在一个双射。一个可能的双射如下：

将 (0, 1) × (0, 1) 中的每个点表示为一个二进制小数对 (0.b1b2b3..., 0.c1c2c3...)，其中 b1, b2, b3, ... 和 c1, c2, c3, ... 是 0 或 1。例如，点 (0.101001..., 0.011010...) 可以表示为 (0.101001..., 0.011010...)。

现在，将这个点映射到 (0, 1) 中的一个数，如下所示：

0.b1c1b2c2b3c3...

也就是说，将 b1 和 c1 交替放在一起，然后将 b2 和 c2 交替放在一起，以此类推。例如，点 (0.101001..., 0.011010...) 将映射到 0.1100011010...。

可以证明这个映射是一个双射。首先，对于任何 (0, 1) 中的数 x，可以将其表示为一个二进制小数 x = 0.x1x2x3...，其中 x1, x2, x3, ... 是 0 或 1。然后，将这个数映射到 (0, 1) × (0, 1) 中的一个点，如下所示：

(0.x1x3x5..., 0.x2x4x6...)

也就是说，将 x1, x2, x3, ... 交替放在一起，然后将 x2, x4, x6, ... 交替放在一起，以此类推。例如，数 0.1100011010... 将映射到点 (0.101001..., 0.011010...)。

因此，这个映射是一个双射，证明了 (0, 1) × (0, 1) 和 (0, 1) 之间存在一个双射。