logistic map的Matlab绘图代码

下面是一个简单的 Matlab 代码，绘制 Logistic Map 的迭代图：

% 设置参数
r = 3.9; % 映射参数
x0 = 0.2; % 初始值
n = 1000; % 迭代次数

% 迭代计算
x = zeros(n,1);
x(1) = x0;
for i = 2:n
    x(i) = r*x(i-1)*(1-x(i-1));
end

% 绘制迭代图
plot(1:n,x,'.')
xlabel('迭代次数')
ylabel('x')
title(['Logistic Map (r=' num2str(r) ', x_0=' num2str(x0) ', n=' num2str(n) ')'])

你可以根据自己的需求调整参数和迭代次数，并对图形进行自定义。

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为了在 MATLAB 中绘制微分方程的分叉图，通常采用数值模拟和参数扫描相结合的方法。下面介绍一种常见的方式并提供相应的代码示例。

#### 定义模型函数
首先定义描述系统的动力学行为的ODEs（常微分方程）。这里假设有一个简单的Logistic映射作为例子：

function dxdt = logistic_map(t, x, r)
    % Logistic map function with parameter r.
    dxdt = r * x .* (1 - x);
end

此段代码表示了一个依赖于参数 \(r\) 的离散时间的动力系统[^2]。

#### 参数范围设定与初始化条件设置
接着指定要探索的参数区间以及初始状态向量:

% Parameter range and initial condition setup
r_values = linspace(0, 4, 1000);  % Range of bifurcation parameter 'r'
initial_conditions = rand(size(r_values));  % Random IC for each r value
transient_steps = 500;            % Number of transient steps to discard
plotting_steps = 300;             % Number of points after transients to plot
results = zeros(length(r_values), plotting_steps);

for i = 1:length(r_values)
    current_r = r_values(i);
    state = initial_conditions(i);
    
    % Run the system long enough to reach steady-state or periodic orbit
    for j = 1:(transient_steps + plotting_steps)
        [~, next_state] = ode45(@(t,x)logistic_map(t,x,current_r), [0 1], state);
        state = next_state(end);
        
        if j >= transient_steps
            results(i,j-transient_steps+1) = state;
        end
    end
end

上述代码通过遍历不同\(r\)值来运行仿真，并丢弃前`transient_steps`步以去除瞬态效应的影响。

#### 结果可视化
最后一步是将所得数据绘制成图形形式展示出来：

figure();
hold on;

for i = 1:size(results, 1)
    plot(repmat(r_values(i), size(results(i,:))), results(i,:), '.', 'MarkerSize', 1);
end

xlabel('Bifurcation Parameter r');
ylabel('State Variable Value');
title('Bifurcation Diagram of Logistic Map');

hold off;
grid on;

这段脚本会生成一个显示随着控制参量变化而产生的稳定点分布情况的图表。

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离散Logistic模型是一种常见的用于描述种群增长动态的数学模型。该模型可以用来研究不同参数条件下的种群变化趋势及其稳定性。

为了在MATLAB中展示这一过程，可以通过编写脚本来模拟并可视化离散Logistic方程的行为：

% 定义函数来计算下一个时间步的状态
function xn = logistic_map(r, x0, n)
    % r 是增长率因子；x0 是初始人口比例；n 表示迭代次数
    xn(1) = x0;
    for i = 2:n
        xn(i) = r * xn(i-1)*(1-xn(i-1));
    end
end

% 设置绘图参数
r_values = linspace(2.4, 4, 1000); % 增长率范围
iterations = 100;                  % 总迭代数
transient_period = 50;             % 跳过初期不稳定阶段后的点数
final_points_per_r = iterations - transient_period;

figure('Color', 'w'); hold on; grid minor;
for ri = 1:length(r_values)
    r = r_values(ri);
    x = logistic_map(r, 0.5, iterations);
    
    plot(repmat(r,[1 final_points_per_r]), ...
         x((transient_period+1):end), '.',...
         'MarkerSize', 1,...
         'Color', rand([1 3]));
end
xlabel('\it{r} (Growth Rate)', 'FontSize', 14);
ylabel('\it{x}', 'FontSize', 14);
title('Bifurcation Diagram of Discrete Logistic Model', 'FontSize', 16);

hold off;

上述代码创建了一个分岔图（bifurcation diagram），它展示了随着增长率\( r \)[^1]的变化，系统最终状态是如何演变的。通过调整`r_values`数组内的数值区间以及`iterations`和`transient_period`变量，可以获得更精细或不同的视图效果。