以seir模型写最优控制的matlab代码

以下是基于SEIR模型的最优控制的MATLAB代码，使用经典的Pontryagin最小值原理和数值方法求解：

% SEIR模型的最优控制

% 参数设置
T = 200; % 时间长度
N = 1000; % 网格数量
h = T/N; % 时间步长

% 初始条件
S0 = 0.99; % 初始易感人群比例
E0 = 0.01; % 初始潜伏人群比例
I0 = 0.00; % 初始感染人群比例
R0 = 0.00; % 初始恢复人群比例
u0 = 0.00; % 初始控制值

% 常数设置
beta = 0.4; % 感染率
sigma = 0.2; % 潜伏期转化率
gamma = 0.1; % 感染恢复率
alpha = 0.05; % 控制费用系数
theta = 0.3; % 控制强度上限

% 定义状态和控制
S = zeros(N+1,1);
E = zeros(N+1,1);
I = zeros(N+1,1);
R = zeros(N+1,1);
u = zeros(N+1,1);

% 初始化状态和控制
S(1) = S0;
E(1) = E0;
I(1) = I0;
R(1) = R0;
u(1) = u0;

% 求解最优控制
for i = 1:N
    t = (i-1)*h;
    
    % 计算当前状态的导数
    dS = -beta*S(i)*I(i);
    dE = beta*S(i)*I(i) - sigma*E(i);
    dI = sigma*E(i) - gamma*I(i);
    dR = gamma*I(i);
    
    % 计算控制费用函数
    J = alpha*u(i)^2;
    
    % 计算伴随变量
    lambda_S = -dJdu(t,u(i),theta)*I(i)*h + lambda_S_calc(i+1);
    lambda_E = -dJdu(t,u(i),theta)*beta*S(i)*I(i)*h + lambda_E_calc(i+1);
    lambda_I = -dJdu(t,u(i),theta)*(sigma*E(i)-gamma*I(i))*h + lambda_I_calc(i+1);
    lambda_R = -dJdu(t,u(i),theta)*gamma*I(i)*h + lambda_R_calc(i+1);
    
    % 更新状态和控制
    S(i+1) = S(i) + dS*h;
    E(i+1) = E(i) + dE*h;
    I(i+1) = I(i) + dI*h;
    R(i+1) = R(i) + dR*h;
    u(i+1) = min(max(u(i) - h*dJdu(t,u(i),theta),0),theta);
    
    % 更新伴随变量
    lambda_S_calc(i) = lambda_S;
    lambda_E_calc(i) = lambda_E;
    lambda_I_calc(i) = lambda_I;
    lambda_R_calc(i) = lambda_R;
end

% 画出结果
t = linspace(0,T,N+1);
plot(t,S,t,E,t,I,t,R,t,u);
legend('S','E','I','R','u');

% 定义控制费用函数的导数
function dJdu = dJdu(t,u,theta)
    if u < 0 || u > theta
        dJdu = 0;
    else
        dJdu = 2*alpha*u;
    end
end

其中，SEIR模型用四个变量表示状态：$S$表示易感人群比例，$E$表示潜伏人群比例，$I$表示感染人群比例，$R$表示恢复人群比例。最优控制用一个变量$u$表示，表示控制强度。控制费用函数为$J(u)=\int_0^T \alpha u^2(t)dt$，表示控制过程的代价。根据Pontryagin最小值原理，对应的伴随方程为：

$$
\begin{aligned}
\dot{\lambda_S} &= -\frac{\partial H}{\partial S} = -\beta I\lambda_E \\
\dot{\lambda_E} &= -\frac{\partial H}{\partial E} = \beta SI\lambda_E - \sigma\lambda_I \\
\dot{\lambda_I} &= -\frac{\partial H}{\partial I} = \sigma\lambda_E - \gamma\lambda_I \\
\dot{\lambda_R} &= -\frac{\partial H}{\partial R} = \gamma\lambda_I \\
\end{aligned}
$$

其中$H(S,E,I,R,u,\lambda_S,\lambda_E,\lambda_I,\lambda_R) = \alpha u^2 + \lambda_S\dot{S} + \lambda_E\dot{E} + \lambda_I\dot{I} + \lambda_R\dot{R}$是Hamiltonian函数。最优控制方程为$\frac{\partial H}{\partial u}=0$，即：

$$
u(t) = \begin{cases}
0 & \text{if } u^*(t) < 0 \\
u^*(t) & \text{if } 0 \leq u^*(t) \leq \theta \\
\theta & \text{if } u^*(t) > \theta
\end{cases}
$$

其中$u^*(t)$是最优控制。最优控制的计算使用数值方法，采用欧拉法进行离散化：

$$
u_{i+1} = \min\left(\max(u_i - h\frac{\partial J}{\partial u}(t,u_i,\theta),0),\theta\right)
$$

其中$h$是时间步长，$\frac{\partial J}{\partial u}(t,u,\theta)$是控制费用函数的导数。在本代码中，$\frac{\partial J}{\partial u}(t,u,\theta)$使用了一个分段函数，当$u$在$[0,\theta]$范围内时为$2\alpha u$，否则为0。