线性神经网络-线性回归模型预测

### 使用线性神经网络实现线性回归模型预测

#### 定义线性回归模型
为了使用线性神经网络来实现线性回归模型，可以定义一个简单的线性变换作为模型的核心部分。该模型接受输入特征矩阵 \(X\) 和权重参数 \(w\) 及偏置项 \(b\), 并计算输出 \(\hat{y}\)，其中：

\[ \hat{y} = Xw + b \]

此操作可以通过编程语言中的张量运算库轻松完成。

import torch

def linreg(X, w, b):
    """线性回归模型"""
    return torch.matmul(X, w) + b

此处展示了如何利用 PyTorch 库来进行向量化乘法以及加法操作以得到最终预测值[^3]。

#### 初始化模型参数
在实际应用之前，还需要初始化模型所需的参数——权重和偏差。这些参数将在训练过程中不断更新优化直至收敛于最优解附近。

num_inputs = 2  # 输入维度数
w = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

这里创建了一个具有两个输入特性的简单例子，并随机设置了初始权重；同时设定了零均值的偏移量\(b\)。`requires_grad=True` 表明这两个变量需要参与梯度下降算法的学习过程。

#### 数据准备
对于任何机器学习任务来说，准备好合适的数据集都是至关重要的一步。假设已经拥有一组带有标签的真实数据点，则可以直接跳过这步。如果还没有现成的数据源，则可能需要合成一些虚拟样本供测试用途。

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features = torch.randn(size=(1000, num_inputs))
labels = true_w[0] * features[:, 0] + true_w[1] * features[:, 1] + true_b
labels += torch.normal(0., 0.01, labels.shape)

这段代码片段模拟了一千条二维空间内的观测记录及其对应的响应变量（即目标）。噪声被加入到真实关系之中以便更贴近现实情况下的不确定性因素影响。

#### 训练循环
最后就是编写主程序逻辑了：迭代读取批次化的训练实例、前向传播求得损失函数值、反向传播调整权值直到满足停止条件为止。

learning_rate = 0.03
batch_size = 10
epochs = 3

for epoch in range(epochs):
    for i in range(len(features)//batch_size):
        batch_idx = slice(i*batch_size, (i+1)*batch_size)
        X_batch = features[batch_idx]
        y_batch = labels[batch_idx].reshape(-1, 1)

        prediction = linreg(X_batch, w, b)
        loss = ((prediction-y_batch)**2).mean()

        # Backpropagation and optimization step omitted here.
        
print(f'Estimated weights: {w.flatten()}, bias: {float(b)}')

在这个简化版的例子中省略掉了具体的误差反馈机制细节，但在实践中应当引入合适的最优化器如SGD或Adam等工具辅助完成整个流程控制工作。