蒙特卡洛法求二重积分matlab

蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值积分方法，用于求解高维函数的积分问题，包括二维和更高维度的二重积分。在MATLAB中，可以使用`quadl`或`integral`函数结合循环结构来实现蒙特卡洛积分。以下是基本步骤：

1. 定义被积函数：首先，你需要定义你要积分的二维函数，例如`f(x, y)`。

2. 确定积分区域：指定积分的x和y范围，如`[a, b]`和`[c, d]`。

3. 创建随机点集合：生成大量的随机点`(x, y)`，在这个定义的矩形区域内均匀分布。

4. 计算函数值：对每个随机点，计算`f(x, y)`的值。

5. 统计并估计积分：统计所有随机点落在积分区域内的数量以及它们对应的函数值，然后用这些信息估算积分。

function integral_approx = monte_carlo_integral(func, a, b, c, d, n_points)
    % n_points: 随机点的数量
    x = (a + b) * rand(n_points, 1);
    y = (c + d) * rand(n_points, 1);

    % 确保所有点在定义的区域范围内
    valid_points = (x >= a) & (x <= b) & (y >= c) & (y <= d);
    x = x(valid_points);
    y = y(valid_points);
    
    % 计算函数值并累计积分
    function_values = func(x, y);
    integral_approx = mean(function_values) * (b - a) * (d - c);
end

% 示例：求解函数f(x, y) = x^2 + y^2 在[0, 1]x[0, 1]上的积分
func = @(x, y) x.^2 + y.^2;
a = 0;
b = 1;
c = 0;
d = 1;
n_points = 1e5; % 选择足够多的点以提高精度
integral_approx = monte_carlo_integral(func, a, b, c, d, n_points);