幂法求特征值特征向量

### 幂法计算矩阵特征值和特征向量

幂法是一种迭代算法，用于近似求解给定方阵的最大绝对值特征值及其相应的特征向量。该方法通过反复将一个初始向量左乘以待分析的矩阵来实现[^2]。

#### 基本原理

设 \( A \) 为 n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 \( P \)，使得 \( P^{-1}AP=D \)，这里 \( D \) 是由 \( A \) 的特征值构成的对角矩阵；而 \( P \)'s 列则是这些特征值对应的标准化后的特征向量[^3]。

对于任意非零初始向量 \( v^{(0)} \)，定义序列：

\[ v^{(k+1)} = Av^{(k)}, k=0,1,\ldots \]

随着迭代次数增加，\( v^{(k)} \) 将逐渐接近于最大模特征值所关联的那个方向上的特征向量。为了防止数值溢出并加速收敛速度，在每次更新前通常会对当前向量做规范化处理，即令新的向量等于原向量除以其长度（欧几里德范数），这样就能保持后续运算中的稳定性。

#### MATLAB 实现示例

下面给出一段简单的MATLAB代码用来展示如何利用幂法找到指定矩阵最大的那个特征值以及它所属的一个单位长度的特征向量:

function [lambda,v]=power_method(A,tol,maxit)
% power_method 使用幂法寻找输入矩阵A的最大特征值 lambda 和相应特征向量v.
%
% 输入参数:
%   A - 待求解的n*n维方阵;
%   tol - 容差，默认设置为eps^(1/2);
%   maxit - 迭代上限，默认取作size(A,1)^2.

if nargin<2 || isempty(tol),tol=sqrt(eps);end
if nargin<3 || isempty(maxit),maxit=size(A,1)^2;end

n=length(A(:));
r=rand(n,1)-0.5;%随机初始化起点向量
for i=1:maxit
    w=A*r;
    r=w/norm(w);
    
    % 检查是否满足停止准则
    if norm((A*r)/norm(r)-w)<tol*abs(sum(diag(A)))
        break;
    end
end
lambda=r'*A*r;
v=r;

disp(['经过',num2str(i),'次迭代后得到的结果']);

此函数接受三个可选参数作为输入：目标矩阵 `A`、容差水平 `tol` （默认采用机器精度平方根）、最大允许迭代次数 `maxit` (默认设定为矩阵维度平方)。程序内部先创建了一个随机分布的小扰动向量作为起始猜测，之后进入循环体执行标准形式下的幂法操作直到达到预设误差界限或超出规定轮次为止[^1]。