推荐系统中的矩阵分解

### 推荐系统中的矩阵分解

#### 矩阵分解概述

在推荐系统领域，基于协同过滤的方法占据重要地位。其中，矩阵分解技术作为核心组件被广泛应用。通过将用户-物品交互数据表示成低维隐因子空间内的两个向量乘积形式，可以有效捕捉潜在特征并预测未知偏好。

#### ALS（交替最小二乘法）

ALS是一种用于求解矩阵分解问题的有效算法，在处理大规模稀疏矩阵方面表现出色。该方法假设存在一个潜在因素模型能够解释观察到的数据分布情况；即认为每一个用户和项目都可以由一组固定的隐藏属性描述，并且这些属性之间相互独立[^1]。

对于给定的评分矩阵R (m×n)，目标是最小化如下损失函数：

\[ L=\sum_{(i,j)\in\Omega}(r_{ij}-u_i^Tv_j)^2+\lambda(\|U\|^2_F+\|V\|^2_F) \]

这里\( u_i \)代表第 i 位用户的潜变量向量, \( v_j \)对应于第 j 部影片; Ω 表示已知评价的位置集合; λ 是正则项系数用来防止过拟合现象发生.

为了优化上述公式，采用迭代更新策略分别固定一方参数调整另一方直到收敛为止:

import numpy as np
from scipy.sparse import csr_matrix

def als(R,k=10,max_iter=50,lamda=0.01):
    m,n=R.shape
    
    U=np.random.rand(m,k)
    V=np.random.rand(n,k)

    R_csr = csr_matrix(R)

    for _ in range(max_iter):
        # 更新用户侧权重
        VuVT=(V.T@V)+lamda*np.eye(k)
        for i in range(m):
            Ri=R_csr.getrow(i).toarray().flatten()
            idx=np.where(Ri>0)[0]
            Vi=V[idx,:]
            Ui=np.linalg.solve(VuVT+(Vi.T@Vi),Vi.T@(Ri[idx]))
            U[i,:]=Ui.flatten()

        # 更新商品侧权重
        UTUt=(U.T@U)+lamda*np.eye(k)
        for j in range(n):
            Rj=R_csr.getcol(j).toarray().flatten()
            idx=np.where(Rj>0)[0]
            Uj=U[idx,:]
            Vj=np.linalg.solve(UTUt+(Uj.T@Uj),Uj.T@(Rj[idx]))
            V[j,:]=Vj.flatten()

    return U,V

此代码片段实现了基本版ALS算法框架，实际应用中可能还需要考虑更多细节如缺失值填补、冷启动等问题。

#### SVD（奇异值分解）

另一种常见的矩阵分解方式是SVD，它可以从原始评分矩阵提取出最重要的成分来近似重构原矩阵。具体来说就是寻找三个矩阵PΣQ使得它们相乘等于输入矩阵A，其中Σ是对角线上含有非负实数σi 的矩形对角矩阵称为奇异数(Singular Value); P 和 Q 则分别是左/右奇异向量组成的单位正交基底[^2].

尽管标准SVD计算复杂度较高难以直接应用于大型稀疏场景下，但其变种Truncated-SVD可以在一定程度上缓解这一困境并通过截断部分较小奇异值得到更紧凑表达从而加速运算过程。

#### 数据预处理与构建评分表

当准备实施任何类型的矩阵分解之前，通常先要准备好训练集——一张记录着各个用户针对不同项目的打分详情表格。这一步骤涉及读取源文件并将之转换为目标格式以便后续操作。下面给出一段Python脚本示范如何完成这项工作[^3]:

max_user_id = max(ratings_df['userId']) + 1
max_movie_id = max(ratings_df['movieId']) + 1
ratings_matrix = np.zeros((max_user_id, max_movie_id))

for _, row in ratings_df.iterrows():
    user_idx = int(row['userId'])
    movie_idx = int(row['movieId'])
    rating_value = float(row['rating'])

    ratings_matrix[user_idx][movie_idx] = rating_value

这段程序遍历整个DataFrame对象`ratings_df`, 并依据每一行的信息填充至预先定义好的全零数组内形成最终所需的评分矩阵结构供下一步分析使用。