线性判别分析 (LDA)

线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）是一种经典的模式识别和机器学习方法，用于在高维数据中进行降维和分类。LDA的目标是通过找到一个投影，将数据映射到低维空间，使得不同类别的样本在投影后能够更好地分离。

LDA的基本思想是将数据投影到一个低维子空间，使得同类样本的投影点尽可能接近，不同类样本的投影点尽可能远离。具体来说，LDA通过计算类内散度矩阵和类间散度矩阵来进行投影。类内散度矩阵衡量了同一类别内样本的离散程度，而类间散度矩阵衡量了不同类别之间样本的差异程度。

LDA的步骤如下：
1. 计算每个类别的均值向量和协方差矩阵。
2. 计算类内散度矩阵，即将每个类别的协方差矩阵加权求和。
3. 计算类间散度矩阵，即不同类别均值向量之间的差异。
4. 对类内散度矩阵进行特征值分解，得到特征向量。
5. 选择最大的k个特征值对应的特征向量，构建投影矩阵。
6. 将数据投影到低维空间中，进行分类或其他任务。

LDA的优点是能够在降维的同时保留类别信息，适用于分类问题。它还可以用于特征提取和数据可视化。然而，LDA的一个限制是假设数据符合高斯分布，并且类别的协方差矩阵相等。