已知 q0=10o , qf=90o ,v0 = 0,vf = 0 求:1)用三次多项式规划轨迹

三次多项式规划轨迹的方程可以由以下公式给出：

θ(t) = a0 + a1t + a2t^2 + a3t^3

其中，θ(t) 是时间 t 时刻的角度，a0、a1、a2、a3 是待求系数。为了确定轨迹方程，需要满足以下条件：

1) 初始条件：θ(0) = q0，代入公式得 a0 = q0

2) 初始速度：v(0) = v0 = 0，代入公式得 a1 = 0

3) 终止条件：θ(tf) = qf，代入公式得 a0 + a1(tf) + a2(tf)^2 + a3(tf)^3 = qf

4) 终止速度：v(tf) = vf = 0，代入公式得 a1 + 2a2(tf) + 3a3(tf)^2 = 0

根据以上条件，我们可以得到一个包含四个未知数的方程组，通过求解该方程组即可得到 a0、a1、a2、a3 的值。进一步求解方程组，我们可以得到轨迹的具体方程为：

θ(t) = q0 + 3(qf - q0)(t/tf)^2 - 2(qf - q0)(t/tf)^3

其中，tf 是运动的总时间。

根据题目给出的初始角度 q0=10°，终止角度 qf=90°，初始速度 v0 = 0，终止速度 vf = 0，我们可以代入以上公式来求解具体数值。

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c# 关节空间五次多项式轨迹规划

根据提供的引用内容，我们可以得知关节空间轨迹规划是将机器人的关节变量变换成时间的函数，然后对角速度和角加速度进行约束。而五次多项式插值法是一种常用的插值方法，可以用于机械臂轨迹规划。因此，我们可以采用五次多项式插值法进行关节空间轨迹规划。

以下是C#实现关节空间五次多项式轨迹规划的示例代码：

using System;

public class JointSpaceTrajectoryPlanning
{
    // 五次多项式插值法
    public static double[] QuinticPolynomial(double q0, double qf, double v0, double vf, double a0, double af, double tf, double t)
    {
        double[] result = new double[3];
        double a = a0;
        double b = v0;
        double c = q0;
        double d = (6 * qf - 6 * q0 - 3 * vf * tf - 3 * v0 * tf - af * Math.Pow(tf, 2) + a0 * Math.Pow(tf, 2)) / Math.Pow(tf, 3);
        double e = (-15 * qf + 15 * q0 + 8 * vf * tf + 7 * v0 * tf + 3 * af * Math.Pow(tf, 2) - 2 * a0 * Math.Pow(tf, 2)) / Math.Pow(tf, 4);
        double f = (10 * qf - 10 * q0 - 6 * vf * tf - 4 * v0 * tf - af * Math.Pow(tf, 2) + a0 * Math.Pow(tf, 2)) / Math.Pow(tf, 5);

        result[0] = a + 2 * b * t + 3 * c * Math.Pow(t, 2) + 4 * d * Math.Pow(t, 3) + 5 * e * Math.Pow(t, 4) + 6 * f * Math.Pow(t, 5);
        result[1] = 2 * a + 6 * b * t + 12 * c * Math.Pow(t, 2) + 20 * d * Math.Pow(t, 3) + 30 * e * Math.Pow(t, 4) + 42 * f * Math.Pow(t, 5);
        result[2] = 6 * b + 24 * c * t + 60 * d * Math.Pow(t, 2) + 120 * e * Math.Pow(t, 3) + 210 * f * Math.Pow(t, 4);

        return result;
    }

    // 关节空间轨迹规划
    public static double[,] JointSpaceTrajectory(double[] q0, double[] qf, double[] v0, double[] vf, double[] a0, double[] af, double tf, double dt)
    {
        int n = (int)Math.Ceiling(tf / dt) + 1;
        double[,] result = new double[n, q0.Length];

        for (int i = 0; i < q0.Length; i++)
        {
            double[] q = QuinticPolynomial(q0[i], qf[i], v0[i], vf[i], a0[i], af[i], tf, 0);
            double[] v = QuinticPolynomial(q0[i], qf[i], v0[i], vf[i], a0[i], af[i], tf, dt);
            double[] a = QuinticPolynomial(q0[i], qf[i], v0[i], vf[i], a0[i], af[i], tf, 2 * dt);

            result[0, i] = q[0];
            result[1, i] = v[0];
            result[2, i] = a[0];

            for (int j = 1; j < n; j++)
            {
                double t = j * dt;
                q = QuinticPolynomial(q0[i], qf[i], v0[i], vf[i], a0[i], af[i], tf, t);
                v = QuinticPolynomial(q0[i], qf[i], v0[i], vf[i], a0[i], af[i], tf, t + dt);
                a = QuinticPolynomial(q0[i], qf[i], v0[i], vf[i], a0[i], af[i], tf, t + 2 * dt);

                result[j, i] = q[0];
            }
        }

        return result;
    }
}

// 示例
public class Example
{
    public static void Main()
    {
        double[] q0 = { 0, 0, 0 };
        double[] qf = { 1, 1, 1 };
        double[] v0 = { 0, 0, 0 };
        double[] vf = { 0, 0, 0 };
        double[] a0 = { 0, 0, 0 };
        double[] af = { 0, 0, 0 };
        double tf = 1;
        double dt = 0.01;

        double[,] result = JointSpaceTrajectoryPlanning.JointSpaceTrajectory(q0, qf, v0, vf, a0, af, tf, dt);

        for (int i = 0; i < result.GetLength(0); i++)
        {
            for (int j = 0; j < result.GetLength(1); j++)
            {
                Console.Write(result[i, j] + " ");
            }
            Console.WriteLine();
        }
    }
}