首页为何最大范数不满足||Ax||<=||A||||x||,||AB||<=||A||||B||

为何最大范数不满足||Ax||<=||A||||x||,||AB||<=||A||||B||

时间: 2023-11-09 07:08:26 浏览: 175

向量与矩阵的范数PPT课件.pptx

"向量与矩阵的范数PPT课件.pptx" 本PPT课件主要讲解了向量和矩阵的范数概念和性质。定义了向量的范数，包括1-范数、2-范数和p-范数，并证明了这些范数的性质，例如Holder不等式和Minkowski不等式。然后，讨论了有限维线性空间上的向量范数的等价性，并引入了矩阵范数的概念，包括矩阵范数的定义、非负性、齐次性、三角不等式和矩阵乘法的相容性。通过例子来说明矩阵范数的应用。向量范数的定义和性质： * 设向量x = (x1, x2, ..., xn)，则其p-范数定义为||x||p = (|x1|^p + |x2|^p + ... + |xn|^p)^(1/p)。 * Holder不等式：设p, q > 1 满足 1/p + 1/q = 1，则对所有的x, y ∈ ℝⁿ，有||x||p ||y||q ≥ |x⋅y|。 * Minkowski不等式：设p ≥ 1，则对所有的x, y ∈ ℝⁿ，有||x + y||p ≤ ||x||p + ||y||p。有限维线性空间上的向量范数的等价性： * 有限维线性空间上的任意两个向量范数都是等价的。 * 例如，对于向量x = (x1, x2, ..., xn)，可以定义其p-范数为||x||p = (|x1|^p + |x2|^p + ... + |xn|^p)^(1/p)。矩阵范数的定义和性质： * 设矩阵A ∈ ℝm×n，则其范数||A||定义为满足以下四个性质的实数：非负性、齐次性、三角不等式和矩阵乘法的相容性。 * 矩阵范数的非负性：||A|| ≥ 0，且||A|| = 0 当且仅当 A = 0。 * 矩阵范数的齐次性：||cA|| = |c| ||A||，其中c ∈ ℝ。 * 矩阵范数的三角不等式：||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||。 * 矩阵范数的矩阵乘法的相容性：||AB|| ≤ ||A|| ||B||。矩阵范数的应用： * 例如，对于矩阵A ∈ ℝm×n，定义其范数||A|| = max{||Ax|| : ||x|| ≤ 1}，其中x ∈ ℝⁿ。 * 这样定义的矩阵范数符合矩阵范数的四个性质，可以用于衡量矩阵的大小。

最大范数是指向量中绝对值最大的元素，因此在计算矩阵A的最大范数时，需要找到一个向量x，使得||x||=1且||Ax||的值最大。但是，这并不意味着对于任意向量x，都有||Ax||<=||A||||x||成立。同样地，对于矩阵乘积AB，也不能保证||AB||<=||A||||B||。这是因为矩阵乘积的范数不满足乘法结合律，即||AB||<=||A||||B||不一定成立。

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