龙格库塔解微分方程组已知终值

### 使用龙格库塔方法求解已知终值的微分方程组

对于已知终值条件的微分方程组，通常的方法是从终点向起点反向积分。为了实现这一点，可以调整标准的四阶龙格-库塔法 (RK4)，使其适用于逆向时间步长。

下面是一个简单的 Python 实现，展示如何使用 RK4 方法来解决具有已知终值条件的一维线性常微分方程：

import numpy as np

def rk4_step(func, y, t, dt):
    k1 = func(t, y)
    k2 = func(t + dt/2, y + dt*k1/2)
    k3 = func(t + dt/2, y + dt*k2/2)
    k4 = func(t + dt, y + dt*k3)
    
    return y + dt * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6

def backward_rk4(dydt, tfinal, yfinal, t0, Nsteps):
    h = -(tfinal - t0)/Nsteps  # 负号表示我们正在倒着走
    ts = np.linspace(tfinal, t0, Nsteps+1)[::-1]
    ys = [yfinal]

    current_y = yfinal
    
    for i in range(1, Nsteps+1):
        current_t = ts[i-1]
        current_y = rk4_step(lambda t,y: dydt(-t), current_y, -current_t, h)
        ys.append(current_y)

    return np.array(ts[::-1]), np.array(ys[::-1])

# 定义一个测试函数作为例子
def example_ode(t, y):
    return -2*t*y  # 这里假设我们知道这个 ODE 的形式

ts, ys = backward_rk4(example_ode, 5., 1./np.exp(25.), 0., 1000)

print("Time points:", ts[:10])  # 打印前十个时间点
print("Solution values at those times:", ys[:10])

此代码片段定义了一个 `backward_rk4` 函数，该函数接受微分方程的形式、最终时间和状态以及初始时间，并返回一系列的时间点及其对应的数值解[^1]。