反三角函数的导数的推导
时间: 2024-10-16 21:02:11 浏览: 165
反三角函数是指正弦、余弦、正切等基本三角函数的倒数,例如反正弦(sin^(-1))、反余弦(cos^(-1))和反正切(tan^(-1))。它们的导数可以用链式法则来推导:
1. 对于反正弦(sin^(-1)x),其导数可以看作是y = arcsinx,则有 y' = d/dx arcsinx。由于arcsinx是一个复合函数,我们可以将其视为u=sinx的逆,即y=arcsin(u)。利用链式法则,我们得到dy/du = 1/sqrt(1-u^2),而du/dx = cos(x)。因此,y' = dy/du * du/dx = (1/sqrt(1-x^2)) * cos(x)。
2. 对于反余弦(cos^(-1)x),同样用链式法则,设y=acosx,那么y'=d/dx acosx。这里有y=acosu(u=x),所以dy/du=-1/sqrt(1-u^2),然后du/dx=-sin(x)。将两者结合,得y' = -1/sqrt(1-x^2) * (-sin(x)) = sin(x)/sqrt(1-x^2)。
3. 对于反正切(tan^(-1)x),记作y=atanx或y=π/4 + atan(x),因为tan函数是周期函数,其原函数会有π的周期项。使用链式法则和辅助角公式,我们有y' = d/dx (π/4 + arctan(u)),其中u=x。于是dy/du = 1/(1+u^2),du/dx = 1/x^2。化简得到y' = 1/(1+x^2)。
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